Раздел IV. Определённый интеграл — § 2. Вычисление определённых интегралов с помощью неопределённых

Демидович — задача 2278

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить интегралы:

Задача 2278

∫0π(xsin⁡x)2 dx\displaystyle\int_0^\pi(x\sin x)^2\,dx.
Ответ:π36−π4\dfrac{\pi^3}{6}-\dfrac\pi4

Решение

Понижаем степень синуса по формулеsin⁡2x=12(1−cos⁡2x)\sin^2x=\dfrac12(1-\cos2x)Для искомого интеграла получаемI=12∫0πx2 dx−12K=π36−12KK=∫0πx2cos⁡2x dx\begin{gathered}
I=\dfrac12\int_0^\pi x^2\,dx-\dfrac12K
=\dfrac{\pi^3}{6}-\dfrac12K\\
K=\int_0^\pi x^2\cos2x\,dx
\end{gathered}Вычислим KK по частям. Выбираемu=x2,dv=cos⁡2x dxdu=2x dx,v=12sin⁡2x\begin{aligned}
u&=x^2,&\qquad dv&=\cos2x\,dx\\
du&=2x\,dx,&v&=\dfrac12\sin2x
\end{aligned}Обозначим оставшийся интеграл черезL=∫0πxsin⁡2x dxL=\int_0^\pi x\sin2x\,dxПо формуле интегрирования по частямK=[x22sin⁡2x]0π−∫0πsin⁡2x2⋅2x dx==0−∫0πxsin⁡2x dx=−L\begin{aligned}
K&=\left[\dfrac{x^2}{2}\sin2x\right]_0^\pi
-\int_0^\pi\dfrac{\sin2x}{2}\cdot2x\,dx=\\
&=0-\int_0^\pi x\sin2x\,dx=-L
\end{aligned}Граничное слагаемое равно нулю, поскольку sin⁡0=sin⁡2π=0\sin0=\sin2\pi=0; множители 12\frac12 и 22 в оставшемся интеграле сокращаются.

Ещё раз интегрируем по частям:u=x,dv=sin⁡2x dxdu=dx,v=−12cos⁡2x\begin{aligned}
u&=x,&\qquad dv&=\sin2x\,dx\\
du&=dx,&v&=-\dfrac12\cos2x
\end{aligned}ТогдаL=[−x2cos⁡2x]0π+12∫0πcos⁡2x dx==−π2+14[sin⁡2x]0π=−π2\begin{aligned}
L&=\left[-\dfrac x2\cos2x\right]_0^\pi
+\dfrac12\int_0^\pi\cos2x\,dx=\\
&=-\dfrac\pi2+\dfrac14\bigl[\sin2x\bigr]_0^\pi=-\dfrac\pi2
\end{aligned}Значит, K=π2K=\frac\pi2, иI=π36−π4I=\dfrac{\pi^3}{6}-\dfrac\pi4
Демидович № 2278 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика