Раздел IV. Определённый интеграл — § 2. Вычисление определённых интегралов с помощью неопределённых

Демидович — задача 2221

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

С помощью определённых интегралов найти пределы следующих сумм:

Задача 2221

lim⁡n→∞(nn2+12+nn2+22+⋯+nn2+n2)\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\frac n{n^2+1^2}+\frac n{n^2+2^2}+\dots+\frac n{n^2+n^2}\right).
Ответ:lim⁡n→∞∑k=1nnn2+k2=π4\lim_{n\to\infty}
\sum_{k=1}^{n}\dfrac{n}{n^2+k^2}
=\dfrac\pi4

Решение

Преобразуем сумму к виду правой интегральной суммы:Sn=∑k=1nnn2+k2=1n∑k=1n11+(kn)2\begin{aligned}
S_n
&=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{n}{n^2+k^2}
=\dfrac1n\sum_{k=1}^{n}
\dfrac1{1+\left(\dfrac kn\right)^2}
\end{aligned}При равномерном разбиении [0;1][0;1] длина каждого отрезка и его правый конец равныΔx=1n,xk=kn,k=1,…,n\Delta x=\dfrac1n,
\qquad x_k=\dfrac kn,
\qquad k=1,\ldots,nФункция f(x)=11+x2f(x)=\frac1{1+x^2} непрерывна на [0;1][0;1]. Поэтому при n→∞n\to\inftySn⟶∫01dx1+x2=arctg⁡x∣01=π4\begin{aligned}
S_n
&\longrightarrow\int_0^1\dfrac{dx}{1+x^2}
=\arctg x\bigg|_0^1
=\dfrac\pi4
\end{aligned}