Раздел IV. Определённый интеграл — § 2. Вычисление определённых интегралов с помощью неопределённых

Демидович — задача 2236

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Отбрасывая равномерно бесконечно малые высших порядков, найти пределы следующих сумм:

Задача 2236

Пусть f(x)f(x) --- непрерывная положительная функция. Доказать, что функцияφ(x)=∫0xtf(t) dt∫0xf(t) dt\varphi(x)=\frac{\int_0^xtf(t)\,dt}{\int_0^xf(t)\,dt}возрастает при x≥0x\ge0.
Доказано:Для непрерывной положительной ff функция φ\varphi строго возрастает на [0,+∞)[0,+\infty). В точке x=0x=0 она понимается по непрерывному продолжению: φ(0)=0\varphi(0)=0.

Доказательство

В доказательстве используем положительность ff на [0,+∞)[0,+\infty) и её непрерывность, позволяющую дифференцировать интегралы по верхнему пределу в каждой точке. ОбозначимN(x)=∫0xtf(t) dt,D(x)=∫0xf(t) dtN(x)=\int_0^x t f(t)\,dt,
\qquad
D(x)=\int_0^x f(t)\,dtПри x>0x>0 из положительности ff следует D(x)>0D(x)>0, поэтому функция φ(x)=N(x)D(x)\varphi(x)=\frac{N(x)}{D(x)} определена. По основной теореме анализаN′(x)=xf(x),D′(x)=f(x)N'(x)=xf(x),
\qquad
D'(x)=f(x)Дифференцируя отношение, получаемφ′(x)=xf(x)D(x)−f(x)N(x)D2(x)==f(x)D2(x)(x∫0xf(t) dt−∫0xtf(t) dt)==f(x)D2(x)∫0x(x−t)f(t) dt\begin{aligned}
\varphi'(x)
&=\dfrac{xf(x)D(x)-f(x)N(x)}{D^2(x)}=\\
&=\dfrac{f(x)}{D^2(x)}
\left(
x\int_0^x f(t)\,dt-
\int_0^x t f(t)\,dt
\right)=\\
&=\dfrac{f(x)}{D^2(x)}
\int_0^x(x-t)f(t)\,dt
\end{aligned}При 0≤t<x0\le t<x имеем (x−t)f(t)>0(x-t)f(t)>0. Следовательно, при x>0x>0φ′(x)>0\varphi'(x)>0Значит, φ\varphi строго возрастает на (0,+∞)(0,+\infty). Для учёта точки x=0x=0 заметим, что при x>0x>00<N(x)<xD(x)0<N(x)<xD(x)и потому0<φ(x)<x0<\varphi(x)<xОтсюда φ(x)→0\varphi(x)\to0 при x→0+x\to0^+. Полагая φ(0)=0\varphi(0)=0, получаем возрастающую функцию на [0,+∞)[0,+\infty).

Что и требовалось доказать

Демидович № 2236 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика