Раздел IV. Определённый интеграл — § 2. Вычисление определённых интегралов с помощью неопределённых

Демидович — задача 2223

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

С помощью определённых интегралов найти пределы следующих сумм:

\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1^p+2^p+\dots+n^p}{n^{p+1}}

(p>0)

Ответ:

\lim_{n\to\infty} \dfrac{1^p+2^p+\ldots+n^p}{n^{p+1}} =\dfrac1{p+1}, \qquad p>0

Решение

По условию

p>0

, поэтому функция

f(x)=x^p

непрерывна на

[0;1]

. Преобразуем выражение:

\begin{aligned} \dfrac{1^p+2^p+\ldots+n^p}{n^{p+1}} &=\dfrac1n\sum_{k=1}^{n}\left(\dfrac kn\right)^p\end{aligned}

При равномерном разбиении

[0;1]

длина каждого отрезка и его правый конец равны

\Delta x=\dfrac1n, \qquad x_k=\dfrac kn, \qquad k=1,\ldots,n

Получили правую интегральную сумму. Поэтому

\begin{aligned} \lim_{n\to\infty} \dfrac{1^p+2^p+\ldots+n^p}{n^{p+1}} &=\int_0^1x^p\,dx =\dfrac{x^{p+1}}{p+1}\bigg|_0^1 =\dfrac1{p+1}\end{aligned}