Раздел IV. Определённый интеграл — § 1

Демидович § 1. Определённый интеграл как предел суммы

Условия, ответы и подробные решения задач 2181–2205

Задачи 2181–2205

25 из 25 с разбором

Задача 2181

Найти интегральную сумму SnS_n для функцииf(x)=1+xf(x)=1+xна сегменте [−1,4][-1,4], разбивая его на nn равных промежутков и выбирая значения аргумента ξi\xi_i (i=0,1,…,n−1)(i=0,1,\dots,n-1) в серединах этих промежутков.

Задача 2182

Для данных функций f(x)f(x) найти нижнюю S‾n\underline S_n и верхнюю S‾n\overline S_n интегральные суммы на соответствующих сегментах, деля их на nn равных частей, если:

а) f(x)=x3f(x)=x^3 [−2≤x≤3][-2\le x\le3];

б) f(x)=xf(x)=\sqrt x [0≤x≤1][0\le x\le1];

в) f(x)=2xf(x)=2^x [0≤x≤10][0\le x\le10].

Задача 2183

Найти нижнюю интегральную сумму для функции f(x)=x4f(x)=x^4 на сегменте [1,2][1,2], разбивая этот сегмент на nn частей, длины которых образуют геометрическую прогрессию. Чему равен предел этой суммы при n→∞n\to\infty?

Задача 2184

Исходя из определения интеграла, найти∫0T(v0+gt) dt,\int_0^T(v_0+gt)\,dt,где TT, v0v_0, gg постоянны.
Вычислить определённые интегралы, рассматривая их как пределы соответствующих интегральных сумм и производя разбиение промежутка интеграции надлежащим образом:

Задача 2185

∫−12x2 dx\displaystyle\int_{-1}^2x^2\,dx.

Задача 2186

∫01ax dx\displaystyle\int_0^1a^x\,dx (a>0)(a>0).

Задача 2187

∫0π/2sin⁡x dx\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin x\,dx.

Задача 2188

∫0xcos⁡t dt\displaystyle\int_0^x\cos t\,dt.

Задача 2189

∫abdxx2\displaystyle\int_a^b\frac{dx}{x^2} (0<a<b)(0<a<b).

Задача 2190

∫abxm dx\displaystyle\int_a^bx^m\,dx (0<a<b; m≠−1)(0<a<b;\ m\ne-1).

Задача 2191

∫abdxx\displaystyle\int_a^b\frac{dx}{x} (0<a<b)(0<a<b).

Задача 2192

Вычислить интеграл Пуассона∫0πln⁡(1−2αcos⁡x+α2) dx\int_0^\pi\ln(1-2\alpha\cos x+\alpha^2)\,dxпри: а) ∣α∣<1|\alpha|<1; б) ∣α∣>1|\alpha|>1.

Задача 2193

1. Пусть функции f(x)f(x) и φ(x)\varphi(x) непрерывны на [a,b][a,b]. Доказать, чтоlim⁡max⁡∣Δxi∣→0∑i=0n−1f(ξi)φ(θi)Δxi=∫abf(x)φ(x) dx,\lim_{\max|\Delta x_i|\to0}\sum_{i=0}^{n-1}f(\xi_i)\varphi(\theta_i)\Delta x_i
=\int_a^bf(x)\varphi(x)\,dx,где xi≤ξi≤xi+1x_i\le\xi_i\le x_{i+1}, xi≤θi≤xi+1x_i\le\theta_i\le x_{i+1} (i=0,1,…,n−1)(i=0,1,\dots,n-1) и Δxi=xi+1−xi\Delta x_i=x_{i+1}-x_i (x0=a, xn=b)(x_0=a,\ x_n=b).

2. Пусть функция f(x)f(x) ограничена и монотонна на [0,1][0,1]. Доказать, что∫01f(x) dx−1n∑k=1nf(kn)=O(1n).\int_0^1f(x)\,dx-\frac1n\sum_{k=1}^nf\left(\frac kn\right)=O\left(\frac1n\right).3. Пусть функция f(x)f(x) ограничена и выпукла сверху (см. задачу 1312) на сегменте [a,b][a,b]. Доказать, что(b−a)f(a)+f(b)2≤∫abf(x) dx≤(b−a)f(a+b2).(b-a)\frac{f(a)+f(b)}2\le\int_a^bf(x)\,dx\le(b-a)f\left(\frac{a+b}2\right).4. Пусть f(x)∈C(2)[1,+∞]f(x)\in C^{(2)}[1,+\infty] и f(x)≥0f(x)\ge0, f′(x)≥0f'(x)\ge0, f′′(x)≤0f''(x)\le0 при x∈[1,+∞)x\in[1,+\infty). Доказать, что∑k=1nf(k)=12f(n)+∫1nf(x) dx+O(1)\sum_{k=1}^nf(k)=\frac12f(n)+\int_1^nf(x)\,dx+O(1)при n→∞n\to\infty.

5. Пусть f(x)∈C(1)[a,b]f(x)\in C^{(1)}[a,b] иΔn=∫abf(x) dx−b−an∑k=1nf(a+kb−an).\Delta_n=\int_a^bf(x)\,dx-\frac{b-a}n\sum_{k=1}^nf\left(a+k\frac{b-a}n\right).Найти lim⁡n→∞nΔn\displaystyle\lim_{n\to\infty}n\Delta_n.

Задача 2194

Показать, что разрывная функцияf(x)={sgn⁡(sin⁡πx),0<x≤1,0,x=0,f(x)=\begin{cases}
\operatorname{sgn}\left(\sin\frac\pi x\right),&0<x\le1,\\
0,&x=0,
\end{cases}интегрируема на промежутке [0,1][0,1].

Задача 2195

Показать, что функция Риманаφ(x)={0,если x иррационально;1n,если x=mn,\varphi(x)=\begin{cases}
0,&\text{если }x\text{ иррационально};\\
\dfrac1n,&\text{если }x=\dfrac mn,
\end{cases}где mm и nn (n≥1)(n\ge1) --- взаимно простые целые числа, интегрируема на любом конечном промежутке.

Задача 2196

Показать, что функцияf(x)=1x−[1x],если x≠0f(x)=\frac1x-\left[\frac1x\right],\quad\text{если }x\ne0и f(0)=0f(0)=0, интегрируема на сегменте [0,1][0,1].

Задача 2197

Доказать, что функция Дирихлеχ(x)={0,если x иррационально;1,если x рационально,\chi(x)=\begin{cases}
0,&\text{если }x\text{ иррационально};\\
1,&\text{если }x\text{ рационально},
\end{cases}не интегрируема на любом промежутке.

Задача 2198

Пусть функция f(x)f(x) интегрируема на [a,b][a,b] иfn(x)=sup⁡f(x)при xi≤x<xi+1,f_n(x)=\sup f(x)\quad\text{при }x_i\le x<x_{i+1},гдеxi=a+in(b−a)(i=0,1,…,n; n=1,2,… ).x_i=a+\frac in(b-a)\quad(i=0,1,\dots,n;\ n=1,2,\dots).Доказать, чтоlim⁡n→∞∫abfn(x) dx=∫abf(x) dx.\lim_{n\to\infty}\int_a^bf_n(x)\,dx=\int_a^bf(x)\,dx.

Задача 2199

Доказать, что если функция f(x)f(x) интегрируема на [a,b][a,b], то существует последовательность непрерывных функций φn(x)\varphi_n(x) (n=1,2,… )(n=1,2,\dots) такая, что∫acf(x) dx=lim⁡n→∞∫acφn(x) dxпри a≤c≤b.\int_a^cf(x)\,dx=\lim_{n\to\infty}\int_a^c\varphi_n(x)\,dx\quad\text{при }a\le c\le b.

Задача 2200

Доказать, что если ограниченная функция f(x)f(x) интегрируема на сегменте [a,b][a,b], то абсолютная величина её ∣f(x)∣|f(x)| также интегрируема на [a,b][a,b], причём∣∫abf(x) dx∣≤∫ab∣f(x)∣ dx.\left|\int_a^bf(x)\,dx\right|\le\int_a^b|f(x)|\,dx.

Задача 2201

Пусть функция f(x)f(x) абсолютно интегрируема на сегменте [a,b][a,b], т. е. интеграл ∫ab∣f(x)∣ dx\displaystyle\int_a^b|f(x)|\,dx существует. Является ли эта функция интегрируемой на [a,b][a,b]?

Рассмотреть пример:f(x)={1,если x рационально;−1,если x иррационально.f(x)=\begin{cases}1,&\text{если }x\text{ рационально};\\-1,&\text{если }x\text{ иррационально}.\end{cases}

Задача 2202

Пусть функция f(x)f(x) интегрируема на [a,b][a,b] и A≤f(x)≤BA\le f(x)\le B при a≤x≤ba\le x\le b, а функция φ(x)\varphi(x) определена и непрерывна на сегменте [A,B][A,B]. Доказать, что функция φ(f(x))\varphi(f(x)) интегрируема на [a,b][a,b].

Задача 2203

Если функции f(x)f(x) и φ(x)\varphi(x) интегрируемы, то обязательно функция f(φ(x))f(\varphi(x)) также интегрируема?

Рассмотреть пример:f(x)={0,если x=0;1,если x≠0,f(x)=\begin{cases}0,&\text{если }x=0;\\1,&\text{если }x\ne0,\end{cases}и φ(x)\varphi(x) --- функция Римана (см. задачу 2195).

Задача 2204

Пусть функция f(x)f(x) интегрируема на сегменте [A,B][A,B]. Доказать, что функция f(x)f(x) обладает свойством интегральной непрерывности, т. е.lim⁡h→0∫ab∣f(x+h)−f(x)∣ dx=0,\lim_{h\to0}\int_a^b|f(x+h)-f(x)|\,dx=0,где [a,b]⊂[A,B][a,b]\subset[A,B].

Задача 2205

Пусть функция f(x)f(x) интегрируема на сегменте [a,b][a,b]. Доказать, что равенство∫abf2(x) dx=0\int_a^bf^2(x)\,dx=0имеет место тогда и только тогда, если f(x)=0f(x)=0 во всех точках непрерывности функции f(x)f(x), принадлежащих сегменту [a,b][a,b].