Раздел IV. Определённый интеграл — § 2. Вычисление определённых интегралов с помощью неопределённых

Демидович — задача 2231

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Отбрасывая равномерно бесконечно малые высших порядков, найти пределы следующих сумм:

Задача 2231

Найти:ddx∫absin⁡t2 dt,dda∫absin⁡t2 dt,ddb∫absin⁡t2 dt.\frac d{dx}\int_a^b\sin t^2\,dt,\qquad
\frac d{da}\int_a^b\sin t^2\,dt,\qquad
\frac d{db}\int_a^b\sin t^2\,dt.
Ответ:0,−sin⁡a2,sin⁡b20,
\qquad
-\sin a^2,
\qquad
\sin b^2

Решение

В первом выражении переменная интегрирования совпадает по обозначению с переменной дифференцирования. Переобозначим её через tt:∫absin⁡t2 dt\int_a^b\sin t^2\,dtПри фиксированных aa и bb этот интеграл не зависит от xx, поэтомуddx∫absin⁡t2 dt=0\dfrac d{dx}\int_a^b\sin t^2\,dt=0Для производных по пределам интегрирования возьмём первообразную FF функции sin⁡t2\sin t^2. Находить её явную формулу не требуется: достаточно равенства F′(t)=sin⁡t2F'(t)=\sin t^2. По формуле Ньютона--Лейбница∫absin⁡t2 dt=F(b)−F(a)\int_a^b\sin t^2\,dt=F(b)-F(a)При дифференцировании по aa считаем bb постоянным, а при дифференцировании по bb считаем aa постоянным. Поэтомуdda∫absin⁡t2 dt=−F′(a)=−sin⁡a2ddb∫absin⁡t2 dt=F′(b)=sin⁡b2\begin{aligned}
\dfrac d{da}\int_a^b\sin t^2\,dt&=-F'(a)=-\sin a^2\\
\dfrac d{db}\int_a^b\sin t^2\,dt&=F'(b)=\sin b^2
\end{aligned}Минус в первой производной возникает потому, что значение первообразной на нижнем пределе вычитается.
Демидович № 2231 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика