Раздел IV. Определённый интеграл — § 2. Вычисление определённых интегралов с помощью неопределённых

Демидович — задача 2256

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 2256

Пусть

f(x)

--- непрерывная функция на сегменте

[A,B]\supset[a,b]

. Найти

\displaystyle\frac d{dx}\int_a^bf(x+y)\,dy

при

[a+x,b+x]\subset[A,B]

Ответ:

\dfrac d{dx}\int_a^bf(x+y)\,dy=f(b+x)-f(a+x),\qquad A-a<x<B-b

Решение

Обозначим исходный интеграл через

H(x)

. При замене

t=x+y

получаем

H(x)=\int_{a+x}^{b+x}f(t)\,dt

По условию

[a+x,b+x]\subset[A,B]

, то есть

A-a\le x\le B-b

. Непрерывная функция

f

имеет первообразную

F

, причём на внутренности

[A,B]

выполняется

F'=f

. По формуле Ньютона--Лейбница

H(x)=F(b+x)-F(a+x)

Дифференцируя на внутренности допустимой области, получаем

H'(x)=f(b+x)-f(a+x)

Дифференцируемость самой

f

здесь не требуется. На концах допустимого промежутка, если у него есть внутренние точки, эта же формула задаёт соответствующие односторонние производные. Если допустимая область состоит из единственной точки, производная функции, заданной только в этой точке, не определена.