Раздел IV. Определённый интеграл — § 2. Вычисление определённых интегралов с помощью неопределённых

Демидович — задача 2240

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя формулу интегрирования по частям, найти следующие определённые интегралы:

\displaystyle\int_0^\pi x\sin x\,dx

Ответ:

\pi

Решение

Применим интегрирование по частям, положив

u=x, \qquad dv=\sin x\,dx, \qquad du=dx, \qquad v=-\cos x

Следовательно,

\begin{aligned} \int_0^\pi x\sin x\,dx &=\left.-x\cos x\right|_0^\pi +\int_0^\pi\cos x\,dx=\\ &=\left.-x\cos x+\sin x\right|_0^\pi=\pi\end{aligned}