Раздел IV. Определённый интеграл — § 2. Вычисление определённых интегралов с помощью неопределённых

Демидович — задача 2239

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя формулу интегрирования по частям, найти следующие определённые интегралы:

\displaystyle\int_0^{\ln2}xe^{-x}\,dx

Ответ:

\dfrac{1-\ln2}{2}

Решение

По общему условию блока применяем интегрирование по частям. Положим

u=x, \qquad dv=e^{-x}\,dx, \qquad du=dx, \qquad v=-e^{-x}

Тогда

\begin{aligned} \int_0^{\ln2}xe^{-x}\,dx &=\left.-xe^{-x}\right|_0^{\ln2} +\int_0^{\ln2}e^{-x}\,dx=\\ &=\left.-xe^{-x}-e^{-x}\right|_0^{\ln2}=\\ &=-\dfrac{\ln2}{2}-\dfrac12+1=\dfrac{1-\ln2}{2}\end{aligned}