Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1859

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{dx}{(x-1)\sqrt{x^2-2}}

Ответ:

2\arctg\left(x+\sqrt{x^2-2}-1\right)+C, \qquad |x|>\sqrt2

На каждом промежутке области определения постоянная

C

выбирается независимо.

Решение

Подкоренное выражение в знаменателе должно быть положительным:

x^2-2>0

Поэтому область определения состоит из промежутков

(-\infty;-\sqrt2), \qquad (\sqrt2;+\infty)

Обозначим

s=\sqrt{x^2-2}

Тождество

(x+s)(x-s)=2

показывает, что подстановка Эйлера

u=x+s

рационализирует корень: через

u

можно выразить и

x

, и

s

. На каждом промежутке области определения сделаем замену

u=x+s

Так как

(x+s)(x-s)=2

, выражение

u

не обращается в нуль. Имеем

du=\left(1+\dfrac{x}{s}\right)dx =\dfrac{u}{s}\,dx, \qquad \dfrac{dx}{s}=\dfrac{du}{u}

Кроме того,

x=\dfrac{u+2u^{-1}}{2}, \qquad x-1=\dfrac{u^2-2u+2}{2u}

Следовательно,

\begin{aligned} \int\dfrac{dx}{(x-1)\sqrt{x^2-2}} &=2\int\dfrac{du}{u^2-2u+2}=\\ &=2\int\dfrac{du}{(u-1)^2+1}=\\ &=2\arctg(u-1)+C\end{aligned}

Возвращаясь к переменной

x

, получаем

\int\dfrac{dx}{(x-1)\sqrt{x^2-2}} =2\arctg\left(x+\sqrt{x^2-2}-1\right)+C

На двух промежутках области определения постоянная

C

выбирается независимо.