Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1842

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{x^3\,dx}{x^4-x^2+2}

Ответ:

\dfrac{1}{4}\ln(x^4-x^2+2) +\dfrac{1}{2\sqrt7}\arctg\dfrac{2x^2-1}{\sqrt7}+C

Решение

Знаменатель положителен при всех

x\in\mathbb R

, поскольку

x^4-x^2+2 =\left(x^2-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{7}{4}>0

Положим

t=x^2, \qquad dt=2x\,dx, \qquad x^3\,dx=\dfrac{t}{2}\,dt

Чтобы получить производную знаменателя, запишем

t=\dfrac12(2t-1)+\dfrac12

. Для второго интеграла понадобится полный квадрат:

t^2-t+2=\left(t-\dfrac12\right)^2+\dfrac74

Тогда

\begin{aligned} \int\dfrac{x^3\,dx}{x^4-x^2+2} &=\dfrac{1}{2}\int\dfrac{t\,dt}{t^2-t+2}=\\ &=\dfrac{1}{4}\int\dfrac{2t-1}{t^2-t+2}\,dt +\dfrac{1}{4}\int\dfrac{dt}{t^2-t+2}=\\ &=\dfrac{1}{4}\ln(t^2-t+2) +\dfrac{1}{2\sqrt7}\arctg\dfrac{2t-1}{\sqrt7}+C=\\ &=\dfrac{1}{4}\ln(x^4-x^2+2) +\dfrac{1}{2\sqrt7}\arctg\dfrac{2x^2-1}{\sqrt7}+C\end{aligned}