Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1845

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти следующие интегралы:

Задача 1845

\displaystyle\int\frac{dx}{\sin x+2\cos x+3}

Ответ:

\dfrac{x}{2} +\arctg\dfrac{1+\cos x-\sin x} {3+\cos x+\sin x}+C

Решение

Так как

\sin x+2\cos x+3\geqslant3-\sqrt5>0

подынтегральная функция определена при всех

x\in\mathbb R

. Знаменатель линейно зависит от

\sin x

\cos x

, поэтому подстановка половинного угла превращает интеграл в рациональный. На промежутках, где определена замена

t=\tg\dfrac{x}{2}

, имеем

\sin x=\dfrac{2t}{1+t^2}, \qquad \cos x=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}, \qquad dx=\dfrac{2\,dt}{1+t^2}

Поэтому

\begin{aligned} \int\dfrac{dx}{\sin x+2\cos x+3} &=2\int\dfrac{dt}{t^2+2t+5}=\\ &=2\int\dfrac{dt}{(t+1)^2+4}=\arctg\dfrac{t+1}{2}+C\end{aligned}

Подстановка

t=\tg\dfrac{x}{2}

не определена при

x=\pi+2\pi k

, хотя исходная функция в этих точках регулярна. Поэтому найденная запись пока задаёт первообразную лишь локально. Устраним эти искусственные разрывы и получим одну формулу для всей прямой. Обозначим

F_0=\arctg\dfrac{t+1}{2}

. По формуле тангенса разности

\begin{aligned} \tg\left(F_0-\dfrac{x}{2}\right) &=\dfrac{\dfrac{t+1}{2}-t} {1+\dfrac{t(t+1)}{2}}=\\ &=\dfrac{1-t}{t^2+t+2}=\dfrac{1+\cos x-\sin x} {3+\cos x+\sin x}\end{aligned}

На каждом промежутке, где определена подстановка

t=\tg\dfrac{x}{2}

, имеем

F_0-\dfrac{x}{2} =\arctg\dfrac{1+\cos x-\sin x} {3+\cos x+\sin x}+k\pi, \qquad k\in\mathbb Z

Постоянное слагаемое

k\pi

включается в

C

. Поэтому первообразную на всей вещественной прямой можно записать в виде

\dfrac{x}{2} +\arctg\dfrac{1+\cos x-\sin x} {3+\cos x+\sin x}+C

Знаменатель дроби внутри арктангенса не обращается в нуль, поскольку

3+\cos x+\sin x\geqslant3-\sqrt2>0