Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1851

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{x\,dx}{\sqrt{5+x-x^2}}

Ответ:

-\sqrt{5+x-x^2} +\dfrac{1}{2}\arcsin\dfrac{2x-1}{\sqrt{21}}+C, \qquad \dfrac{1-\sqrt{21}}{2}<x<\dfrac{1+\sqrt{21}}{2}

Решение

Подкоренное выражение в знаменателе должно быть положительным:

5+x-x^2>0

Отсюда область определения имеет вид

\dfrac{1-\sqrt{21}}{2}<x<\dfrac{1+\sqrt{21}}{2}

Обозначим

q=5+x-x^2, \qquad q'=1-2x

Поскольку

x=\dfrac{1}{2}-\dfrac{q'}{2}

, получаем

\begin{aligned} \int\dfrac{x\,dx}{\sqrt{5+x-x^2}} &=\dfrac{1}{2}\int\dfrac{dx}{\sqrt q} -\dfrac{1}{2}\int\dfrac{q'\,dx}{\sqrt q}=\\ &=\dfrac{1}{2}\int\dfrac{dx}{\sqrt q}-\sqrt q\end{aligned}

Дополняя квадрат, имеем

q=\dfrac{21}{4}-\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2

Положим

t=\frac{2x-1}{\sqrt{21}}

. Тогда

dx=\frac{\sqrt{21}}{2}\,dt

q=\frac{21}{4}(1-t^2)

, поэтому

\int\dfrac{dx}{\sqrt q} =\int\dfrac{dt}{\sqrt{1-t^2}} =\arcsin\dfrac{2x-1}{\sqrt{21}}+C

Следовательно,

\int\dfrac{x\,dx}{\sqrt{5+x-x^2}} =-\sqrt{5+x-x^2} +\dfrac{1}{2}\arcsin\dfrac{2x-1}{\sqrt{21}}+C