Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1849

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{2x^2-x+2}}

Ответ:

\dfrac{1}{\sqrt2} \ln\left(4x-1+2\sqrt{2(2x^2-x+2)}\right)+C

Решение

Квадратный трёхчлен под корнем положителен при всех

x\in\mathbb R

, поскольку

2x^2-x+2 =2\left(x-\dfrac{1}{4}\right)^2+\dfrac{15}{8}>0

Положим

t=4x-1

. Тогда

dx=\frac{dt}{4}

2x^2-x+2=\dfrac{t^2+15}{8}

Используем табличную формулу

\int\dfrac{du}{\sqrt{u^2+A^2}} =\ln\left|u+\sqrt{u^2+A^2}\right|+C, \qquad A>0

Применяя её при

u=t

A=\sqrt{15}

, получаем

\begin{aligned} \int\dfrac{dx}{\sqrt{2x^2-x+2}} &=\dfrac{1}{\sqrt2} \int\dfrac{dt}{\sqrt{t^2+15}}=\\ &=\dfrac{1}{\sqrt2} \ln\left(t+\sqrt{t^2+15}\right)+C=\\ &=\dfrac{1}{\sqrt2} \ln\left(4x-1+2\sqrt{2(2x^2-x+2)}\right)+C\end{aligned}

Аргумент логарифма положителен, поскольку

\sqrt{t^2+15}>|t|