Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1856

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти следующие интегралы:

Задача 1856

∫dxxx2+x+1\displaystyle\int\frac{dx}{x\sqrt{x^2+x+1}}.
Ответ:ln⁡∣x2+x+1−x−1x2+x+1−x+1∣+C,x≠0\ln\left|
\dfrac{\sqrt{x^2+x+1}-x-1}
{\sqrt{x^2+x+1}-x+1}
\right|+C,
\qquad
x\ne0На каждом промежутке области определения постоянная CC выбирается независимо.

Решение

Квадратный трёхчлен x2+x+1x^2+x+1 положителен при всех действительных xx, поэтому область определения задаётся условием x≠0x\ne0. Обозначимs=x2+x+1s=\sqrt{x^2+x+1}Используем подстановку Эйлера. Она естественна, поскольку(s−x)(s+x)=s2−x2=x+1(s-x)(s+x)=s^2-x^2=x+1После обозначения u=s−xu=s-x это соотношение вместе с равенством s=x+us=x+u позволяет выразить xx, ss и dxdx рационально через uu. Сделаем заменуu=s−xu=s-xПри x<0x<0 имеем u>0u>0. Если x⩾0x\geqslant0, то s2−x2=x+1>0s^2-x^2=x+1>0, поэтому s>xs>x и также u>0u>0. Так как s=x+us=x+u, после возведения в квадрат получаем(x+u)2=x2+x+1,x=1−u22u−1(x+u)^2=x^2+x+1,
\qquad
x=\dfrac{1-u^2}{2u-1}Здесь 2u−1≠02u-1\ne0: иначе равенство x(2u−1)=1−u2x(2u-1)=1-u^2 привело бы к противоречию 0=340=\dfrac{3}{4}. Кроме того, условие x≠0x\ne0 и неравенство u>0u>0 дают u≠1u\ne1.

Далее,s=x+u=u2−u+12u−1,dx=−2u(2u−1)−2(1−u2)(2u−1)2 du=−2(u2−u+1)(2u−1)2 dus=x+u=\dfrac{u^2-u+1}{2u-1},
\qquad
dx=\dfrac{-2u(2u-1)-2(1-u^2)}{(2u-1)^2}\,du
=-\dfrac{2(u^2-u+1)}{(2u-1)^2}\,duСледовательно,∫dxxx2+x+1=2∫duu2−1==∫(1u−1−1u+1)du==ln⁡∣u−1u+1∣+C\begin{aligned}
\int\dfrac{dx}{x\sqrt{x^2+x+1}}
&=2\int\dfrac{du}{u^2-1}=\\
&=\int\left(\dfrac{1}{u-1}-\dfrac{1}{u+1}\right)du=\\
&=\ln\left|\dfrac{u-1}{u+1}\right|+C
\end{aligned}Возвращаясь к переменной xx, получаем∫dxxx2+x+1=ln⁡∣x2+x+1−x−1x2+x+1−x+1∣+C\int\dfrac{dx}{x\sqrt{x^2+x+1}}
=\ln\left|
\dfrac{\sqrt{x^2+x+1}-x-1}
{\sqrt{x^2+x+1}-x+1}
\right|+CПостоянная CC выбирается независимо на промежутках (−∞;0)(-\infty;0) и (0;+∞)(0;+\infty).
Демидович № 1856 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика