Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1857

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти следующие интегралы:

Задача 1857

∫dxx2x2+x+1\displaystyle\int\frac{dx}{x^2\sqrt{x^2+x+1}}.
Ответ:−x2+x+1x+12ln⁡∣x2+x+1−x+1x2+x+1−x−1∣+C,x≠0-\dfrac{\sqrt{x^2+x+1}}{x}
+\dfrac{1}{2}\ln\left|
\dfrac{\sqrt{x^2+x+1}-x+1}
{\sqrt{x^2+x+1}-x-1}
\right|+C,
\qquad
x\ne0На каждом промежутке области определения постоянная CC выбирается независимо.

Решение

Квадратный трёхчлен x2+x+1x^2+x+1 положителен при всех x∈Rx\in\mathbb R, поэтому область определения задаётся условием x≠0x\ne0. Обозначимs=x2+x+1s=\sqrt{x^2+x+1}Сначала выделим производную дроби sx\frac{s}{x}: в ней появляется нужное слагаемое 1x2s\frac{1}{x^2s}, а оставшийся интеграл с 1xs\frac{1}{xs} проще исходного.
Тогдаddx(sx)=x2x+12s−sx2==−x+22x2s=−1x2s−12xs\begin{aligned}
\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{s}{x}\right)
&=\dfrac{x\dfrac{2x+1}{2s}-s}{x^2}=\\
&=-\dfrac{x+2}{2x^2s}
=-\dfrac{1}{x^2s}-\dfrac{1}{2xs}
\end{aligned}Следовательно,1x2s=−ddx(sx)−12xs\dfrac{1}{x^2s}
=-\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{s}{x}\right)
-\dfrac{1}{2xs}Оставшийся интеграл вычислим подстановкой Эйлера u=s−xu=s-x. Она рационализирует корень: из равенств s=x+us=x+u и (s−x)(s+x)=x+1(s-x)(s+x)=x+1 можно выразить xx и ss рационально через uu. Из равенства (x+u)2=x2+x+1(x+u)^2=x^2+x+1 следуют соотношенияx=1−u22u−1,s=u2−u+12u−1x=\dfrac{1-u^2}{2u-1},
\qquad
s=\dfrac{u^2-u+1}{2u-1}Дифференцируя выражение для xx и перемножая найденные формулы для xx и ss, получаемdx=−2(u2−u+1)(2u−1)2 du,xs=(1−u2)(u2−u+1)(2u−1)2dx=-\dfrac{2(u^2-u+1)}{(2u-1)^2}\,du,
\qquad
xs=\dfrac{(1-u^2)(u^2-u+1)}{(2u-1)^2}Следовательно,dxxs=−2(u2−u+1)(2u−1)2⋅(2u−1)2(1−u2)(u2−u+1) du==−2 du1−u2=2 duu2−1\begin{aligned}
\dfrac{dx}{xs}
&=-\dfrac{2(u^2-u+1)}{(2u-1)^2}
\cdot\dfrac{(2u-1)^2}
{(1-u^2)(u^2-u+1)}\,du=\\
&=-\dfrac{2\,du}{1-u^2}
=\dfrac{2\,du}{u^2-1}
\end{aligned}На области определения u>0u>0, 2u−1≠02u-1\ne0, а условие x≠0x\ne0 равносильно u≠1u\ne1, поэтому все преобразования допустимы.

Поэтому∫dxxs=ln⁡∣u−1u+1∣+C=ln⁡∣s−x−1s−x+1∣+C\int\dfrac{dx}{xs}
=\ln\left|\dfrac{u-1}{u+1}\right|+C
=\ln\left|\dfrac{s-x-1}{s-x+1}\right|+CТеперь получаем∫dxx2x2+x+1=−sx−12ln⁡∣s−x−1s−x+1∣+C==−x2+x+1x+12ln⁡∣x2+x+1−x+1x2+x+1−x−1∣+C\begin{aligned}
\int\dfrac{dx}{x^2\sqrt{x^2+x+1}}
&=-\dfrac{s}{x}
-\dfrac{1}{2}\ln\left|\dfrac{s-x-1}{s-x+1}\right|+C=\\
&=-\dfrac{\sqrt{x^2+x+1}}{x}
+\dfrac{1}{2}\ln\left|
\dfrac{\sqrt{x^2+x+1}-x+1}
{\sqrt{x^2+x+1}-x-1}
\right|+C
\end{aligned}Постоянная CC выбирается независимо на промежутках (−∞;0)(-\infty;0) и (0;+∞)(0;+\infty).
Демидович № 1857 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика