Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1837

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{dx}{x^2-x+2}

Ответ:

\dfrac{2}{\sqrt7}\arctg\left(\dfrac{2x-1}{\sqrt7}\right)+C, \qquad x\in\mathbb R

Решение

Выделим полный квадрат в знаменателе:

x^2-x+2=\left(x-\dfrac12\right)^2+\dfrac74 =\dfrac14\bigl((2x-1)^2+7\bigr)

Положим

t=\dfrac{2x-1}{\sqrt7}, \qquad dx=\dfrac{\sqrt7}{2}\,dt

Тогда

\begin{aligned} \int\dfrac{dx}{x^2-x+2} &=4\int\dfrac{dx}{(2x-1)^2+7} =\dfrac{2}{\sqrt7}\int\dfrac{dt}{1+t^2}=\\ &=\dfrac{2}{\sqrt7} \arctg\left(\dfrac{2x-1}{\sqrt7}\right)+C\end{aligned}

Поскольку

x^2-x+2=\left(x-\dfrac12\right)^2+\dfrac74>0

, подынтегральная функция определена при всех

x\in\mathbb R