Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1839

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти следующие интегралы:

Задача 1839

∫x dxx4−2x2−1\displaystyle\int\frac{x\,dx}{x^4-2x^2-1}.
Ответ:142ln⁡∣x2−1−2x2−1+2∣+C,x≠±1+2\dfrac{1}{4\sqrt2}
\ln\left|\dfrac{x^2-1-\sqrt2}{x^2-1+\sqrt2}\right|+C,
\qquad x\ne\pm\sqrt{1+\sqrt2}

Решение

Положимt=x2−1,dt=2x dxt=x^2-1,
\qquad
dt=2x\,dxТогдаx4−2x2−1=(x2−1)2−2=t2−2x^4-2x^2-1=(x^2-1)^2-2=t^2-2и∫x dxx4−2x2−1=12∫dtt2−2\int\dfrac{x\,dx}{x^4-2x^2-1}
=\dfrac12\int\dfrac{dt}{t^2-2}Разложим дробь на простейшие:1t2−2=122(1t−2−1t+2)\dfrac{1}{t^2-2}
=\dfrac{1}{2\sqrt2}
\left(\dfrac{1}{t-\sqrt2}-\dfrac{1}{t+\sqrt2}\right)Следовательно,∫x dxx4−2x2−1=142ln⁡∣t−2t+2∣+C==142ln⁡∣x2−1−2x2−1+2∣+C\begin{aligned}
\int\dfrac{x\,dx}{x^4-2x^2-1}
&=\dfrac{1}{4\sqrt2}
\ln\left|\dfrac{t-\sqrt2}{t+\sqrt2}\right|+C=\\
&=\dfrac{1}{4\sqrt2}
\ln\left|\dfrac{x^2-1-\sqrt2}{x^2-1+\sqrt2}\right|+C
\end{aligned}Действительно, равенство t2=2t^2=2 даёт x2=1+2x^2=1+\sqrt2 или x2=1−2x^2=1-\sqrt2. Второй вариант невозможен при вещественном xx. Поэтому исключаются только точки x=±1+2x=\pm\sqrt{1+\sqrt2}.
Демидович № 1839 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика