Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1846

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти следующие интегралы:

Задача 1846

∫dxa+bx2\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{a+bx^2}} (b≠0)(b\ne0).
Ответ:При b=0b=0 и a>0a>0:xa+C,x∈R\dfrac{x}{\sqrt a}+C,
\qquad x\in\mathbb RПри b=0b=0 и a⩽0a\leqslant0 вещественная область определения пуста.
При b>0b>0, a≠0a\ne0 и a+bx2>0a+bx^2>0:1bln⁡∣b x+a+bx2∣+C\dfrac{1}{\sqrt b}
\ln\left|\sqrt b\,x+\sqrt{a+bx^2}\right|+CПри b>0b>0 и a=0a=0:F(x)={−1bln⁡(−x)+C−,x<01bln⁡x+C+,x>0F(x)=
\begin{cases}
-\dfrac{1}{\sqrt b}\ln(-x)+C_{-}, & x<0\\
\dfrac{1}{\sqrt b}\ln x+C_{+}, & x>0
\end{cases}При b<0b<0, a>0a>0 и ∣x∣<a/(−b)|x|<\sqrt{a/(-b)}:1−barcsin⁡(x−ba)+C\dfrac{1}{\sqrt{-b}}
\arcsin\left(x\sqrt{\dfrac{-b}{a}}\right)+CПри b<0b<0 и a⩽0a\leqslant0 вещественная область определения пуста. При b>0b>0, a<0a<0 постоянная CC выбирается независимо на двух промежутках области определения.

Решение

Для вещественных значений подынтегральной функции необходимоa+bx2>0a+bx^2>0Сначала рассмотрим b=0b=0. Тогда подынтегральная функция определена только при a>0a>0 и является постоянной:∫dxa+bx2=∫dxa=xa+C,x∈R\int\dfrac{dx}{\sqrt{a+bx^2}}
=\int\dfrac{dx}{\sqrt a}
=\dfrac{x}{\sqrt a}+C,
\qquad x\in\mathbb RПри b=0b=0 и a⩽0a\leqslant0 вещественная подынтегральная функция нигде не определена. Далее считаем b≠0b\ne0. При b>0b>0 отдельно проверим случай a=0a=0: тогда корень превращается в b ∣x∣\sqrt b\,|x|. При b<0b<0 условие a+bx2>0a+bx^2>0 возможно лишь для a>0a>0.
Если b>0b>0 и a≠0a\ne0, обозначимQ=a+bx2,S=b x+QQ=a+bx^2,
\qquad
S=\sqrt b\,x+\sqrt QЕсли бы на области Q>0Q>0 выполнялось S=0S=0, тоS=0⟹Q=−b x⟹Q=bx2⟹a=0S=0
\quad\Longrightarrow\quad
\sqrt Q=-\sqrt b\,x
\quad\Longrightarrow\quad
Q=bx^2
\quad\Longrightarrow\quad
a=0Это противоречит рассматриваемому случаю a≠0a\ne0, поэтому SS не обращается в нуль. ДалееS′=b+bxQ=bQ SS'
=\sqrt b+\dfrac{bx}{\sqrt Q}
=\dfrac{\sqrt b}{\sqrt Q}\,SПоэтому∫dxa+bx2=1bln⁡∣b x+a+bx2∣+C\int\dfrac{dx}{\sqrt{a+bx^2}}
=\dfrac{1}{\sqrt b}
\ln\left|\sqrt b\,x+\sqrt{a+bx^2}\right|+CПри a>0a>0 эта формула действует для всех x∈Rx\in\mathbb R. При a<0a<0 область состоит из двух промежутков∣x∣>−ab|x|>\sqrt{-\dfrac{a}{b}}и постоянные на них выбираются независимо.

Если b>0b>0 и a=0a=0, то подынтегральная функция равна 1b ∣x∣\frac{1}{\sqrt b\,|x|} при x≠0x\ne0. На отрицательной полупрямой ∣x∣=−x|x|=-x, а на положительной ∣x∣=x|x|=x. Следовательно,F(x)={−1bln⁡(−x)+C−,x<01bln⁡x+C+,x>0F(x)=
\begin{cases}
-\dfrac{1}{\sqrt b}\ln(-x)+C_{-}, & x<0\\
\dfrac{1}{\sqrt b}\ln x+C_{+}, & x>0
\end{cases}Пусть теперь b<0b<0 и β=−b>0\beta=-b>0. Неравенство a−βx2>0a-\beta x^2>0 имеет решения только при a>0a>0, причём∣x∣<aβ|x|<\sqrt{\dfrac{a}{\beta}}Положив z=βa xz=\sqrt{\dfrac{\beta}{a}}\,x, получаем∫dxa−βx2=1β∫dz1−z2==1−barcsin⁡(x−ba)+C\begin{aligned}
\int\dfrac{dx}{\sqrt{a-\beta x^2}}
&=\dfrac{1}{\sqrt\beta}
\int\dfrac{dz}{\sqrt{1-z^2}}=\\
&=\dfrac{1}{\sqrt{-b}}
\arcsin\left(x\sqrt{\dfrac{-b}{a}}\right)+C
\end{aligned}При b<0b<0 и a⩽0a\leqslant0 вещественная подынтегральная функция нигде не определена.
Демидович № 1846 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика