Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1838

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{dx}{3x^2-2x-1}

Ответ:

\dfrac14\ln\left|\dfrac{x-1}{3x+1}\right|+C, \qquad x\ne1,\quad x\ne-\dfrac13

Решение

Разложим знаменатель на множители:

3x^2-2x-1=(3x+1)(x-1)

Ищем разложение

\dfrac{1}{(3x+1)(x-1)} =\dfrac{A}{3x+1}+\dfrac{B}{x-1}

Умножим равенство на знаменатель и подставим его корни:

\begin{aligned} 1&=A(x-1)+B(3x+1)\\ x=1:&\quad 1=4B\quad\Longrightarrow\quad B=\dfrac14\\ x=-\dfrac13:&\quad 1=-\dfrac43A \quad\Longrightarrow\quad A=-\dfrac34\end{aligned}

Значит, разложение имеет вид

\dfrac{1}{(3x+1)(x-1)} =-\dfrac{3}{4(3x+1)}+\dfrac{1}{4(x-1)}

Поэтому

\begin{aligned} \int\dfrac{dx}{3x^2-2x-1} &=-\dfrac34\int\dfrac{dx}{3x+1} +\dfrac14\int\dfrac{dx}{x-1}=\\ &=-\dfrac14\ln|3x+1|+\dfrac14\ln|x-1|+C=\\ &=\dfrac14\ln\left|\dfrac{x-1}{3x+1}\right|+C\end{aligned}