Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1829

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти следующие интегралы:

\displaystyle\int e^{ax}\sin bx\,dx

Ответ:

\begin{cases} \dfrac{e^{ax}}{a^2+b^2} \bigl(a\sin bx-b\cos bx\bigr)+C, & (a,b)\ne(0,0)\\[6pt] C, & a=b=0\end{cases}

Решение

Считаем

a

b

действительными постоянными. Пусть

I=\int e^{ax}\cos bx\,dx, \qquad J=\int e^{ax}\sin bx\,dx

Пусть

b\ne0

. Сначала вычислим первообразные без произвольной постоянной; её добавим в конце. Для

J

интегрируем по частям:

u=e^{ax}, \quad dv=\sin bx\,dx, \quad du=ae^{ax}\,dx, \quad v=-\dfrac{\cos bx}{b}

Тогда

J=-\dfrac{e^{ax}\cos bx}{b}+\dfrac{a}{b}I

В интеграле

I

берём

u=e^{ax}

dv=\cos bx\,dx

, поэтому

v=\dfrac{\sin bx}{b}

. Отсюда

I=\dfrac{e^{ax}\sin bx}{b}-\dfrac{a}{b}J

Подставляя выражение для

I

в первое равенство, получаем

\begin{aligned} J &=-\dfrac{e^{ax}\cos bx}{b} +\dfrac{ae^{ax}\sin bx}{b^2} -\dfrac{a^2}{b^2}J\end{aligned}

Переносим слагаемое с

J

влево и приводим коэффициенты к общему знаменателю:

\dfrac{a^2+b^2}{b^2}J =\dfrac{e^{ax}}{b^2}\bigl(a\sin bx-b\cos bx\bigr)

Умножаем обе части на

\dfrac{b^2}{a^2+b^2}

J=\dfrac{e^{ax}}{a^2+b^2} \bigl(a\sin bx-b\cos bx\bigr)+C

Если

b=0

, исходная подынтегральная функция тождественно равна нулю. При

a\ne0

это согласуется с общей формулой; случай

a=b=0

записываем отдельно.