Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1848

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{x+x^2}}

Ответ:

\ln\left|2x+1+2\sqrt{x(1+x)}\right|+C, \qquad x<-1 \quad\text{или}\quad x>0

На двух промежутках области определения постоянная

C

выбирается независимо.

Решение

Подынтегральная функция определена при

x<-1

или

x>0

. Преобразуем выражение под корнем:

x(1+x)=\dfrac{(2x+1)^2-1}{4}

Следовательно,

\sqrt{x(1+x)} =\dfrac{1}{2}\sqrt{(2x+1)^2-1}

Используем табличную формулу

\int\dfrac{du}{\sqrt{u^2-1}} =\ln\left|u+\sqrt{u^2-1}\right|+C, \qquad |u|>1

Так как

d(2x+1)=2\,dx

, имеем

\begin{aligned} \int\dfrac{dx}{\sqrt{x(1+x)}} &=\int\dfrac{d(2x+1)} {\sqrt{(2x+1)^2-1}}=\\ &=\ln\left|2x+1+2\sqrt{x(1+x)}\right|+C\end{aligned}

На промежутках

(-\infty,-1)

(0,+\infty)

постоянная интегрирования выбирается независимо.