Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1854

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти следующие интегралы:

Задача 1854

∫x3 dxx4−2x2−1\displaystyle\int\frac{x^3\,dx}{\sqrt{x^4-2x^2-1}}.
Ответ:12x4−2x2−1+12ln⁡(x2−1+x4−2x2−1)+C,∣x∣>1+2\dfrac{1}{2}\sqrt{x^4-2x^2-1}
+\dfrac{1}{2}\ln\left(x^2-1+\sqrt{x^4-2x^2-1}\right)+C,
\qquad
|x|>\sqrt{1+\sqrt2}На каждом промежутке области определения постоянная CC выбирается независимо.

Решение

Подкоренное выражение в знаменателе должно быть положительным. Имеемx4−2x2−1=(x2−1)2−2>0x^4-2x^2-1
=(x^2-1)^2-2>0Так как x2−1⩾−1x^2-1\geqslant-1, отсюда следуетx2−1>2,∣x∣>1+2x^2-1>\sqrt2,
\qquad
|x|>\sqrt{1+\sqrt2}Положимu=x2−1,du=2x dxu=x^2-1,
\qquad
du=2x\,dxТогда x2=u+1x^2=u+1 и∫x3 dxx4−2x2−1=12∫u+1u2−2 du==12∫u duu2−2+12∫duu2−2\begin{aligned}
\int\dfrac{x^3\,dx}{\sqrt{x^4-2x^2-1}}
&=\dfrac{1}{2}\int\dfrac{u+1}{\sqrt{u^2-2}}\,du=\\
&=\dfrac{1}{2}\int\dfrac{u\,du}{\sqrt{u^2-2}}
+\dfrac{1}{2}\int\dfrac{du}{\sqrt{u^2-2}}
\end{aligned}Первый интеграл равен u2−2\sqrt{u^2-2}. Для второго используем равенствоdduln⁡(u+u2−2)=1u2−2\dfrac{d}{du}\ln\left(u+\sqrt{u^2-2}\right)
=\dfrac{1}{\sqrt{u^2-2}}На области определения u=x2−1>2u=x^2-1>\sqrt2, поэтому аргумент логарифма положителен. Возвращаясь к переменной xx, получаем∫x3 dxx4−2x2−1=12x4−2x2−1+12ln⁡(x2−1+x4−2x2−1)+C\int\dfrac{x^3\,dx}{\sqrt{x^4-2x^2-1}}
=\dfrac{1}{2}\sqrt{x^4-2x^2-1}
+\dfrac{1}{2}\ln\left(x^2-1+\sqrt{x^4-2x^2-1}\right)+CНа двух промежутках области определения постоянная CC выбирается независимо.
Демидович № 1854 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика