Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1832

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{\arcctg e^x}{e^x}\,dx

Ответ:

-e^{-x}\arcctg(e^x) +\dfrac12\ln(1+e^{-2x})+C, \qquad x\in\mathbb R

Решение

Подынтегральная функция определена при всех

x\in\mathbb R

. Представим её в виде

e^{-x}\arcctg(e^x)

и применим интегрирование по частям. Положим

u=\arcctg(e^x), \qquad dv=e^{-x}\,dx, \qquad du=-\dfrac{e^x}{1+e^{2x}}\,dx, \qquad v=-e^{-x}

Тогда

\int\dfrac{\arcctg(e^x)}{e^x}\,dx =-e^{-x}\arcctg(e^x)-\int\dfrac{dx}{1+e^{2x}}

В оставшемся интеграле положим

t=e^x

. Тогда

dt=e^x\,dx

dx=\dfrac{dt}{t}

\begin{aligned} \int\dfrac{dx}{1+e^{2x}} &=\int\dfrac{dt}{t(1+t^2)} =\int\left(\dfrac{1}{t}-\dfrac{t}{1+t^2}\right)dt=\\ &=\ln t-\dfrac12\ln(1+t^2) =x-\dfrac12\ln(1+e^{2x})\end{aligned}

Следовательно,

\begin{aligned} \int\dfrac{\arcctg(e^x)}{e^x}\,dx &=-e^{-x}\arcctg(e^x)-x +\dfrac12\ln(1+e^{2x})+C=\\ &=-e^{-x}\arcctg(e^x) +\dfrac12\ln(1+e^{-2x})+C\end{aligned}