Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1847

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{1-2x-x^2}}

Ответ:

\arcsin\dfrac{x+1}{\sqrt2}+C, \qquad |x+1|<\sqrt2

Решение

Преобразуем выражение под корнем:

1-2x-x^2=2-(x+1)^2

Подынтегральная функция определена при

|x+1|<\sqrt2

Положим

t=\frac{x+1}{\sqrt2}

. Тогда

dx=\sqrt2\,dt

\begin{aligned} \int\dfrac{dx}{\sqrt{1-2x-x^2}} &=\int\dfrac{\sqrt2\,dt}{\sqrt{2-2t^2}}=\int\dfrac{dt}{\sqrt{1-t^2}}=\\ &=\arcsin t+C=\arcsin\dfrac{x+1}{\sqrt2}+C\end{aligned}