Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1853

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти следующие интегралы:

Задача 1853

а) ∫x dx1−3x2−2x4\displaystyle\int\frac{x\,dx}{\sqrt{1-3x^2-2x^4}};
б) ∫cos⁡x dx1+sin⁡x+cos⁡2x\displaystyle\int\frac{\cos x\,dx}{\sqrt{1+\sin x+\cos^2x}}.
Ответ:а)122arcsin⁡4x2+317+C,∣x∣<1217−3\dfrac{1}{2\sqrt2}\arcsin\dfrac{4x^2+3}{\sqrt{17}}+C,
\qquad
|x|<\dfrac{1}{2}\sqrt{\sqrt{17}-3}б)arcsin⁡2sin⁡x−13+C,x≠−π2+2πk,k∈Z\arcsin\dfrac{2\sin x-1}{3}+C,
\qquad
x\ne-\dfrac{\pi}{2}+2\pi k,
\quad
k\in\mathbb ZНа каждом промежутке области определения постоянная CC выбирается независимо.

Решение

а) Подкоренное выражение в знаменателе должно быть положительным:1−3x2−2x4>01-3x^2-2x^4>0Положим u=x2u=x^2. Так как u⩾0u\geqslant0, получаем2u2+3u−1<0⟺0⩽u<17−342u^2+3u-1<0
\quad\Longleftrightarrow\quad
0\leqslant u<\dfrac{\sqrt{17}-3}{4}Следовательно,∣x∣<1217−3|x|<\dfrac{1}{2}\sqrt{\sqrt{17}-3}При замене u=x2u=x^2, du=2x dxdu=2x\,dx интеграл принимает вид∫x dx1−3x2−2x4=12∫du1−3u−2u2==12∫du178−2(u+34)2\begin{aligned}
\int\dfrac{x\,dx}{\sqrt{1-3x^2-2x^4}}
&=\dfrac{1}{2}\int\dfrac{du}{\sqrt{1-3u-2u^2}}=\\
&=\dfrac{1}{2}\int
\dfrac{du}{\sqrt{\dfrac{17}{8}-2\left(u+\dfrac{3}{4}\right)^2}}
\end{aligned}Положимv=4u+317,du=174 dvv=\dfrac{4u+3}{\sqrt{17}},
\qquad
du=\dfrac{\sqrt{17}}{4}\,dvТогда1−3u−2u2=178(1−v2)1-3u-2u^2=\dfrac{17}{8}(1-v^2)поэтому∫x dx1−3x2−2x4=122∫dv1−v2==122arcsin⁡v+C==122arcsin⁡4x2+317+C\begin{aligned}
\int\dfrac{x\,dx}{\sqrt{1-3x^2-2x^4}}
&=\dfrac{1}{2\sqrt2}\int\dfrac{dv}{\sqrt{1-v^2}}=\\
&=\dfrac{1}{2\sqrt2}\arcsin v+C=\\
&=\dfrac{1}{2\sqrt2}\arcsin\dfrac{4x^2+3}{\sqrt{17}}+C
\end{aligned}б) Сначала найдём область определения. Имеем1+sin⁡x+cos⁡2x=1+sin⁡x+1−sin⁡2x==(2−sin⁡x)(1+sin⁡x)\begin{aligned}
1+\sin x+\cos^2x
&=1+\sin x+1-\sin^2x=\\
&=(2-\sin x)(1+\sin x)
\end{aligned}Поскольку 2−sin⁡x>02-\sin x>0 при всех xx, а корень находится в знаменателе, необходимо1+sin⁡x>01+\sin x>0Так как sin⁡x⩾−1\sin x\geqslant-1, это условие равносильноsin⁡x≠−1,x≠−π2+2πk,k∈Z\sin x\ne-1,
\qquad
x\ne-\dfrac{\pi}{2}+2\pi k,
\qquad
k\in\mathbb ZНа каждом промежутке области определения положимu=sin⁡x,du=cos⁡x dxu=\sin x,
\qquad
du=\cos x\,dxТогда1+sin⁡x+cos⁡2x=2+u−u2=94−(u−12)21+\sin x+\cos^2x
=2+u-u^2
=\dfrac{9}{4}-\left(u-\dfrac{1}{2}\right)^2Чтобы получить стандартный интеграл арксинуса, положимv=2u−13,du=32 dv,2+u−u2=94(1−v2)v=\dfrac{2u-1}{3},
\qquad
du=\dfrac32\,dv,
\qquad
2+u-u^2=\dfrac94(1-v^2)Тогда∫cos⁡x dx1+sin⁡x+cos⁡2x=∫du94−(u−12)2==∫dv1−v2=arcsin⁡v+C==arcsin⁡2sin⁡x−13+C\begin{aligned}
\int\dfrac{\cos x\,dx}
{\sqrt{1+\sin x+\cos^2x}}
&=\int\dfrac{du}{\sqrt{\dfrac{9}{4}-\left(u-\dfrac{1}{2}\right)^2}}=\\
&=\int\dfrac{dv}{\sqrt{1-v^2}}
=\arcsin v+C=\\
&=\arcsin\dfrac{2\sin x-1}{3}+C
\end{aligned}На каждом промежутке между соседними исключёнными точками постоянная CC выбирается независимо.
Демидович № 1853 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика