Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1864

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти следующие интегралы:

Задача 1864

∫1−x+x2x1+x−x2 dx\displaystyle\int\frac{1-x+x^2}{x\sqrt{1+x-x^2}}\,dx.
Ответ:−1+x−x2−12arcsin⁡2x−15−ln⁡∣x+2+21+x−x2x∣+C\begin{aligned}
&-\sqrt{1+x-x^2}
-\dfrac{1}{2}\arcsin\dfrac{2x-1}{\sqrt5}
-\ln\left|
\dfrac{x+2+2\sqrt{1+x-x^2}}{x}
\right|+C
\end{aligned}Формула справедлива на каждом из промежутков(1−52;0),(0;1+52)\left(\dfrac{1-\sqrt5}{2};0\right),
\qquad
\left(0;\dfrac{1+\sqrt5}{2}\right)Постоянные интегрирования на них могут быть различными.

Решение

Обозначимq=1+x−x2,q′=1−2xq=1+x-x^2,
\qquad
q'=1-2xТак как квадратный корень стоит в знаменателе, необходимоq>0⟺x2−x−1<0,x1,2=1±52q>0
\quad\Longleftrightarrow\quad
x^2-x-1<0,
\qquad
x_{1,2}=\dfrac{1\pm\sqrt5}{2}Дополнительно исключая x=0x=0, получаем два промежутка области определения:(1−52;0),(0;1+52)\left(\dfrac{1-\sqrt5}{2};0\right),
\qquad
\left(0;\dfrac{1+\sqrt5}{2}\right)Объясним, как найти полезное разложение, а не просто угадаем его. Будем искать постоянные AA, BB, DD из равенства1−x+x2xq=Aq′q+Bq+Dxq\dfrac{1-x+x^2}{x\sqrt q}
=A\dfrac{q'}{\sqrt q}
+\dfrac{B}{\sqrt q}
+\dfrac{D}{x\sqrt q}После умножения на xqx\sqrt q и сравнения коэффициентов получаем1−x+x2=Ax(1−2x)+Bx+D==−2Ax2+(A+B)x+D\begin{aligned}
1-x+x^2
&=Ax(1-2x)+Bx+D=\\
&=-2Ax^2+(A+B)x+D
\end{aligned}Отсюда−2A=1,A+B=−1,D=1-2A=1,
\qquad
A+B=-1,
\qquad
D=1то есть A=−12A=-\dfrac{1}{2}, B=−12B=-\dfrac{1}{2}, D=1D=1. Поэтому1−x+x2xq=−q′2q−12q+1xq\dfrac{1-x+x^2}{x\sqrt q}
=-\dfrac{q'}{2\sqrt q}
-\dfrac{1}{2\sqrt q}
+\dfrac{1}{x\sqrt q}Посколькуq=54−(x−12)2q=\dfrac{5}{4}-\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2первые два слагаемых интегрируются непосредственно:−∫q′2q dx=−q,−12∫dxq=−12arcsin⁡2x−15\begin{aligned}
-\int\dfrac{q'}{2\sqrt q}\,dx
&=-\sqrt q,\\
-\dfrac{1}{2}\int\dfrac{dx}{\sqrt q}
&=-\dfrac{1}{2}\arcsin\dfrac{2x-1}{\sqrt5}
\end{aligned}Для последнего слагаемого положим s=qs=\sqrt q. Выражение x+2+2sx+2+2s не обращается в нуль в области определения, так как(x+2+2s)(x+2−2s)=5x2≠0(x+2+2s)(x+2-2s)=5x^2\ne0Это произведение подсказывает рассмотреть логарифм отношения (x+2+2s)/x(x+2+2s)/x: его производная может сократиться до нужной дроби 1/(xs)1/(xs). Учитывая s′=1−2x2ss'=\dfrac{1-2x}{2s} и s2=q=1+x−x2s^2=q=1+x-x^2, проверяем−ddxln⁡∣x+2+2sx∣=1x−1+1−2xsx+2+2s==s(x+2+2s)−x(s+1−2x)xs(x+2+2s)==2s+2s2−x+2x2xs(x+2+2s)==x+2+2sxs(x+2+2s)=1xs\begin{aligned}
-\dfrac{d}{dx}\ln\left|\dfrac{x+2+2s}{x}\right|
&=\dfrac{1}{x}
-\dfrac{1+\dfrac{1-2x}{s}}{x+2+2s}=\\
&=\dfrac{s(x+2+2s)-x(s+1-2x)}
{xs(x+2+2s)}=\\
&=\dfrac{2s+2s^2-x+2x^2}{xs(x+2+2s)}=\\
&=\dfrac{x+2+2s}{xs(x+2+2s)}
=\dfrac{1}{xs}
\end{aligned}Собирая найденные первообразные, получаем∫1−x+x2x1+x−x2 dx=−1+x−x2−12arcsin⁡2x−15−ln⁡∣x+2+21+x−x2x∣+C\begin{aligned}
\int\dfrac{1-x+x^2}{x\sqrt{1+x-x^2}}\,dx
&=-\sqrt{1+x-x^2}
-\dfrac{1}{2}\arcsin\dfrac{2x-1}{\sqrt5}-\ln\left|
\dfrac{x+2+2\sqrt{1+x-x^2}}{x}
\right|+C
\end{aligned}
Демидович № 1864 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика