Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1844

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{dx}{3\sin^2x-8\sin x\cos x+5\cos^2x}

Ответ:

\dfrac{1}{2}\ln\left| \dfrac{3\sin x-5\cos x}{\sin x-\cos x} \right|+C

Исключаются точки

x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi

x=\arctg\dfrac{5}{3}+k\pi

k\in\mathbb Z

; на каждом промежутке области определения постоянная

C

выбирается независимо.

Решение

Знаменатель раскладывается на множители:

\begin{aligned} 3\sin^2x-8\sin x\cos x+5\cos^2x &=(3\sin x-5\cos x)(\sin x-\cos x)\end{aligned}

Он обращается в нуль при

x=\arctg\dfrac{5}{3}+k\pi \quad\text{или}\quad x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi, \qquad k\in\mathbb Z

На промежутке, где

\cos x\ne0

, положим

t=\tg x

. Тогда

dt=dx/\cos^2x

\begin{aligned} \int\dfrac{dx} {3\sin^2x-8\sin x\cos x+5\cos^2x} &=\int\dfrac{dt}{3t^2-8t+5}=\\ &=\int\dfrac{dt}{(3t-5)(t-1)}\end{aligned}

Ищем разложение на простейшие дроби:

\dfrac{1}{(3t-5)(t-1)} =\dfrac{A}{3t-5}+\dfrac{B}{t-1} \quad\Longleftrightarrow\quad 1=A(t-1)+B(3t-5)

При

t=\frac53

находим

A=\frac32

, а при

t=1

находим

B=-\frac12

. Поэтому

\dfrac{1}{(3t-5)(t-1)} =\dfrac{3}{2(3t-5)}-\dfrac{1}{2(t-1)}

получаем

\begin{aligned} \int\dfrac{dt}{(3t-5)(t-1)} &=\dfrac{1}{2}\ln\left|\dfrac{3t-5}{t-1}\right|+C=\\ &=\dfrac{1}{2}\ln\left| \dfrac{3\sin x-5\cos x}{\sin x-\cos x} \right|+C\end{aligned}

Последняя формула определена и при

\cos x=0

, где исходный знаменатель равен

3\sin^2x=3

. Обе стороны равенства для производной непрерывны в этих точках, поэтому найденная первообразная продолжается через них.