Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1835

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти следующие интегралы:

Задача 1835

∫xex(x+1)2 dx\displaystyle\int\frac{xe^x}{(x+1)^2}\,dx.
Ответ:exx+1+C,x≠−1\dfrac{e^x}{x+1}+C,
\qquad x\ne-1

Решение

Подынтегральная функция определена при x≠−1x\ne-1. Заметим, что по правилу дифференцирования частного(exx+1)′=ex(x+1)−ex(x+1)2=xex(x+1)2\begin{aligned}
\left(\dfrac{e^x}{x+1}\right)'
&=\dfrac{e^x(x+1)-e^x}{(x+1)^2}
=\dfrac{xe^x}{(x+1)^2}
\end{aligned}Следовательно,∫xex(x+1)2 dx=exx+1+C\int\dfrac{xe^x}{(x+1)^2}\,dx
=\dfrac{e^x}{x+1}+C
Демидович № 1835 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика