Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1852

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{x+1}{\sqrt{x^2+x+1}}\,dx

Ответ:

\sqrt{x^2+x+1} +\dfrac{1}{2}\ln\left(x+\dfrac{1}{2}+\sqrt{x^2+x+1}\right)+C

Решение

Положим

q=x^2+x+1 =\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}>0

Следовательно, подынтегральная функция определена при всех

x\in\mathbb R

. Поскольку

x+1=\dfrac{2x+1}{2}+\dfrac{1}{2}

получаем

\begin{aligned} \int\dfrac{x+1}{\sqrt{x^2+x+1}}\,dx &=\dfrac{1}{2}\int\dfrac{(2x+1)\,dx}{\sqrt q} +\dfrac{1}{2}\int\dfrac{dx}{\sqrt q}=\\ &=\sqrt q+\dfrac{1}{2}\int\dfrac{dx}{\sqrt q}\end{aligned}

Из равенства

\dfrac{d}{dx} \ln\left(x+\dfrac{1}{2}+\sqrt q\right) =\dfrac{1}{\sqrt q}

следует, что

\int\dfrac{dx}{\sqrt q} =\ln\left(x+\dfrac{1}{2}+\sqrt q\right)+C

Аргумент логарифма положителен, поскольку

\sqrt q>\left|x+\dfrac{1}{2}\right|

Таким образом,

\int\dfrac{x+1}{\sqrt{x^2+x+1}}\,dx =\sqrt{x^2+x+1} +\dfrac{1}{2}\ln\left(x+\dfrac{1}{2}+\sqrt{x^2+x+1}\right)+C