Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1855

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти следующие интегралы:

Задача 1855

∫x+x31+x2−x4 dx\displaystyle\int\frac{x+x^3}{\sqrt{1+x^2-x^4}}\,dx.
Ответ:−121+x2−x4+34arcsin⁡2x2−15+C,∣x∣<1+52-\dfrac{1}{2}\sqrt{1+x^2-x^4}
+\dfrac{3}{4}\arcsin\dfrac{2x^2-1}{\sqrt5}+C,
\qquad
|x|<\sqrt{\dfrac{1+\sqrt5}{2}}

Решение

Подкоренное выражение в знаменателе должно быть положительным:1+x2−x4>01+x^2-x^4>0Положив u=x2⩾0u=x^2\geqslant0, получаемu2−u−1<0⟺0⩽u<1+52u^2-u-1<0
\quad\Longleftrightarrow\quad
0\leqslant u<\dfrac{1+\sqrt5}{2}Следовательно,∣x∣<1+52|x|<\sqrt{\dfrac{1+\sqrt5}{2}}Сделаем заменуu=x2,du=2x dxu=x^2,
\qquad
du=2x\,dxТогда∫x+x31+x2−x4 dx=12∫1+u1+u−u2 du\int\dfrac{x+x^3}{\sqrt{1+x^2-x^4}}\,dx
=\dfrac{1}{2}\int\dfrac{1+u}{\sqrt{1+u-u^2}}\,duВведём новую переменнуюv=u−12,dv=duv=u-\dfrac{1}{2},
\qquad
dv=duТогда1+u=v+32,1+u−u2=54−(u−12)2=54−v21+u=v+\dfrac{3}{2},
\qquad
1+u-u^2
=\dfrac{5}{4}-\left(u-\dfrac{1}{2}\right)^2
=\dfrac{5}{4}-v^2Для двух полученных слагаемых используем производные(54−v2)′=−v54−v2,(arcsin⁡2v5)′=154−v2\left(\sqrt{\dfrac54-v^2}\right)'
=-\dfrac{v}{\sqrt{\dfrac54-v^2}},
\qquad
\left(\arcsin\dfrac{2v}{\sqrt5}\right)'
=\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac54-v^2}}Поэтому∫x+x31+x2−x4 dx=12∫v dv54−v2+34∫dv54−v2==−1254−v2+34arcsin⁡2v5+C==−121+x2−x4+34arcsin⁡2x2−15+C\begin{aligned}
\int\dfrac{x+x^3}{\sqrt{1+x^2-x^4}}\,dx
&=\dfrac{1}{2}\int\dfrac{v\,dv}{\sqrt{\dfrac{5}{4}-v^2}}
+\dfrac{3}{4}\int\dfrac{dv}{\sqrt{\dfrac{5}{4}-v^2}}=\\
&=-\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{5}{4}-v^2}
+\dfrac{3}{4}\arcsin\dfrac{2v}{\sqrt5}+C=\\
&=-\dfrac{1}{2}\sqrt{1+x^2-x^4}
+\dfrac{3}{4}\arcsin\dfrac{2x^2-1}{\sqrt5}+C
\end{aligned}
Демидович № 1855 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика