Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1836

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти следующие интегралы:

Задача 1836

∫dxa+bx2\displaystyle\int\frac{dx}{a+bx^2} (ab≠0)(ab\ne0).
Ответ:{1aabarctg⁡(xba)+C,ab>0,x∈R12a−abln⁡∣1+x−ba1−x−ba∣+C,ab<0,x≠±−ab\begin{cases}
\dfrac{1}{a}\sqrt{\dfrac{a}{b}}
\arctg\left(x\sqrt{\dfrac{b}{a}}\right)+C,
&ab>0,\quad x\in\mathbb R\\[1.2ex]
\dfrac{1}{2a}\sqrt{-\dfrac{a}{b}}
\ln\left|
\dfrac{1+x\sqrt{-\dfrac{b}{a}}}
{1-x\sqrt{-\dfrac{b}{a}}}
\right|+C,
&ab<0,\quad x\ne\pm\sqrt{-\dfrac{a}{b}}
\end{cases}

Решение

Считаем aa и bb постоянными вещественными параметрами, причём ab≠0ab\ne0. Представим знаменатель в видеa+bx2=a(1+bax2)a+bx^2=a\left(1+\dfrac{b}{a}x^2\right)Сначала рассмотрим случай ab>0ab>0. Тогда ba>0\dfrac{b}{a}>0. Положимt=xba,dx=ab dtt=x\sqrt{\dfrac{b}{a}},
\qquad
dx=\sqrt{\dfrac{a}{b}}\,dtПолучаем∫dxa+bx2=1aab∫dt1+t2==1aabarctg⁡(xba)+C\begin{aligned}
\int\dfrac{dx}{a+bx^2}
&=\dfrac{1}{a}\sqrt{\dfrac{a}{b}}
\int\dfrac{dt}{1+t^2}=\\
&=\dfrac{1}{a}\sqrt{\dfrac{a}{b}}
\arctg\left(x\sqrt{\dfrac{b}{a}}\right)+C
\end{aligned}Если ab<0ab<0, то −ba>0-\dfrac{b}{a}>0. Положимt=x−ba,dx=−ab dtt=x\sqrt{-\dfrac{b}{a}},
\qquad
dx=\sqrt{-\dfrac{a}{b}}\,dtТогда∫dxa+bx2=1a−ab∫dt1−t2==1a−ab∫12(11+t+11−t)dt==12a−abln⁡∣1+t1−t∣+C==12a−abln⁡∣1+x−ba1−x−ba∣+C\begin{aligned}
\int\dfrac{dx}{a+bx^2}
&=\dfrac{1}{a}\sqrt{-\dfrac{a}{b}}
\int\dfrac{dt}{1-t^2}=\\
&=\dfrac{1}{a}\sqrt{-\dfrac{a}{b}}
\int\dfrac12\left(\dfrac{1}{1+t}+\dfrac{1}{1-t}\right)dt=\\
&=\dfrac{1}{2a}\sqrt{-\dfrac{a}{b}}
\ln\left|\dfrac{1+t}{1-t}\right|+C=\\
&=\dfrac{1}{2a}\sqrt{-\dfrac{a}{b}}
\ln\left|
\dfrac{1+x\sqrt{-\dfrac{b}{a}}}
{1-x\sqrt{-\dfrac{b}{a}}}
\right|+C
\end{aligned}При ab>0ab>0 знаменатель не обращается в нуль. При ab<0ab<0 необходимо исключить точки x=±−abx=\pm\sqrt{-\dfrac{a}{b}}.
Демидович № 1836 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика