Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1843

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти следующие интегралы:

Задача 1843

∫x5 dxx6−x3−2\displaystyle\int\frac{x^5\,dx}{x^6-x^3-2}.
Ответ:29ln⁡∣x3−2∣+19ln⁡∣x3+1∣+C,x≠−1,x≠23\dfrac{2}{9}\ln|x^3-2|
+\dfrac{1}{9}\ln|x^3+1|+C,
\qquad
x\ne-1,
\quad
x\ne\sqrt[3]{2}На каждом промежутке области определения постоянная CC выбирается независимо.

Решение

Разложим знаменатель на множители:x6−x3−2=(x3−2)(x3+1)x^6-x^3-2=(x^3-2)(x^3+1)Поэтому подынтегральная функция определена при x≠23x\ne\sqrt[3]{2} и x≠−1x\ne-1. Положимt=x3,dt=3x2 dx,x5 dx=t3 dtt=x^3,
\qquad
dt=3x^2\,dx,
\qquad
x^5\,dx=\dfrac{t}{3}\,dtИщем разложение на две простейшие дроби. После умножения на знаменатель получаемt(t−2)(t+1)=At−2+Bt+1⟺t=A(t+1)+B(t−2)\dfrac{t}{(t-2)(t+1)}
=\dfrac{A}{t-2}+\dfrac{B}{t+1}
\quad\Longleftrightarrow\quad
t=A(t+1)+B(t-2)При t=2t=2 имеем 2=3A2=3A, а при t=−1t=-1 имеем −1=−3B-1=-3B. Значит, A=23A=\dfrac23, B=13B=\dfrac13 иt(t−2)(t+1)=23(t−2)+13(t+1)\dfrac{t}{(t-2)(t+1)}
=\dfrac{2}{3(t-2)}+\dfrac{1}{3(t+1)}Следовательно,∫x5 dxx6−x3−2=13∫t dt(t−2)(t+1)==29ln⁡∣t−2∣+19ln⁡∣t+1∣+C==29ln⁡∣x3−2∣+19ln⁡∣x3+1∣+C\begin{aligned}
\int\dfrac{x^5\,dx}{x^6-x^3-2}
&=\dfrac{1}{3}\int\dfrac{t\,dt}{(t-2)(t+1)}=\\
&=\dfrac{2}{9}\ln|t-2|
+\dfrac{1}{9}\ln|t+1|+C=\\
&=\dfrac{2}{9}\ln|x^3-2|
+\dfrac{1}{9}\ln|x^3+1|+C
\end{aligned}На каждом промежутке области определения постоянная интегрирования выбирается независимо.
Демидович № 1843 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика