Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1865

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{x^2+1}{x\sqrt{x^4+1}}\,dx

Ответ:

\ln\left| \dfrac{x^2-1+\sqrt{x^4+1}}{x} \right|+C, \qquad x\ne0

На промежутках

(-\infty;0)

(0;+\infty)

постоянные интегрирования выбираются независимо.

Решение

Подынтегральная функция определена при

x\ne0

. Выберем

t=x-\frac1x

: его производная содержит множитель

\frac{x^2+1}{x^2}

из числителя, а

t^2+2

позволит упростить корень. На каждом из промежутков

(-\infty;0)

(0;+\infty)

положим

t=x-\dfrac{1}{x}, \qquad dt=\dfrac{x^2+1}{x^2}\,dx

При этом

\begin{aligned} t^2+2 &=\left(x-\dfrac{1}{x}\right)^2+2=\\ &=x^2-2+\dfrac{1}{x^2}+2 =x^2+\dfrac{1}{x^2} =\dfrac{x^4+1}{x^2}\end{aligned}

Следовательно,

\sqrt{x^4+1}=|x|\sqrt{t^2+2}, \qquad dt=\dfrac{x^2+1}{x^2}\,dx \quad\Longrightarrow\quad (x^2+1)\,dx=x^2\,dt

Поэтому

\begin{aligned} \dfrac{x^2+1}{x\sqrt{x^4+1}}\,dx &=\dfrac{x^2}{x|x|\sqrt{t^2+2}}\,dt=\\ &=\dfrac{x}{|x|}\dfrac{dt}{\sqrt{t^2+2}} =\operatorname{sgn}x\dfrac{dt}{\sqrt{t^2+2}}\end{aligned}

Так как

\int\dfrac{dt}{\sqrt{t^2+2}} =\ln\left(t+\sqrt{t^2+2}\right)+C

при

x>0

получаем

\ln\left(t+\sqrt{t^2+2}\right)+C =\ln\left(\dfrac{x^2-1+\sqrt{x^4+1}}{x}\right)+C

При

x<0

используем тождество

\left(\sqrt{t^2+2}+t\right) \left(\sqrt{t^2+2}-t\right)=2

из которого следует

-\ln\left(t+\sqrt{t^2+2}\right) =\ln\left(\sqrt{t^2+2}-t\right)-\ln2

Постоянное слагаемое

-\ln2

включается в

C

, поэтому после возвращения к

x

имеем

\ln\left(\dfrac{x^2-1+\sqrt{x^4+1}}{-x}\right)+C

Кроме того,

\sqrt{x^4+1}>|x^2-1| \qquad (x\ne0)

поэтому аргумент логарифма положителен на каждой ветви. Обе формулы объединяются в одну запись.