Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1862

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\sqrt{2+x+x^2}\,dx

Ответ:

\dfrac{2x+1}{4}\sqrt{x^2+x+2} +\dfrac{7}{8}\ln\left(2x+1+2\sqrt{x^2+x+2}\right)+C

Решение

Выделим полный квадрат и положим

x^2+x+2=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{7}{4}, \qquad u=x+\dfrac{1}{2}, \qquad du=dx, \qquad c=\dfrac{\sqrt7}{2}

Тогда

u^2+c^2=x^2+x+2

.

По формуле

\int\sqrt{u^2+c^2}\,du =\dfrac{1}{2}\left( u\sqrt{u^2+c^2} +c^2\ln\left(u+\sqrt{u^2+c^2}\right) \right)+C

получаем

\int\sqrt{x^2+x+2}\,dx =\dfrac{2x+1}{4}\sqrt{x^2+x+2} +\dfrac{7}{8}\ln\left(x+\dfrac{1}{2}+\sqrt{x^2+x+2}\right)+C

Преобразуем логарифм:

\begin{aligned} \ln\left(x+\dfrac{1}{2}+\sqrt{x^2+x+2}\right) &=\ln\left(\dfrac{2x+1+2\sqrt{x^2+x+2}}{2}\right)=\\ &=\ln\left(2x+1+2\sqrt{x^2+x+2}\right)-\ln2\end{aligned}

Постоянное слагаемое

-\dfrac{7}{8}\ln2

включается в

C

. Кроме того,

4(x^2+x+2)-(2x+1)^2=7>0 \quad\Longrightarrow\quad 2\sqrt{x^2+x+2}>|2x+1|

поэтому аргумент логарифма положителен при всех

x\in\mathbb R

. Окончательно

\int\sqrt{x^2+x+2}\,dx =\dfrac{2x+1}{4}\sqrt{x^2+x+2} +\dfrac{7}{8}\ln\left(2x+1+2\sqrt{x^2+x+2}\right)+C