Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1830

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти следующие интегралы:

\displaystyle\int e^{2x}\sin^2x\,dx

Ответ:

\dfrac{e^{2x}}{8} \bigl(2-\cos2x-\sin2x\bigr)+C

Решение

Используем формулу понижения степени

\sin^2x=\dfrac{1-\cos2x}{2}

Тогда

\int e^{2x}\sin^2x\,dx =\dfrac{1}{2}\int e^{2x}\,dx -\dfrac{1}{2}\int e^{2x}\cos2x\,dx

Вычислим второй интеграл отдельно. Обозначим

K=\int e^{2x}\cos2x\,dx, \qquad L=\int e^{2x}\sin2x\,dx

Оба интеграла вычисляем по частям: дифференцируем

e^{2x}

, а тригонометрический множитель интегрируем:

\begin{aligned} K:\quad &u=e^{2x}, &dv=\cos2x\,dx, &\qquad v=\dfrac{\sin2x}{2}\\ L:\quad &u=e^{2x}, &dv=\sin2x\,dx, &\qquad v=-\dfrac{\cos2x}{2}\end{aligned}

Для выбранных первообразных получаем два равенства; общую постоянную добавим в конце:

K=\dfrac{e^{2x}\sin2x}{2}-L, \qquad L=-\dfrac{e^{2x}\cos2x}{2}+K

Подставим второе равенство в первое:

\begin{aligned} K &=\dfrac{e^{2x}\sin2x}{2} +\dfrac{e^{2x}\cos2x}{2}-K\end{aligned}

Следовательно,

K=\dfrac{e^{2x}}{4}\bigl(\cos2x+\sin2x\bigr)+C

Поэтому

\begin{aligned} \int e^{2x}\sin^2x\,dx &=\dfrac{e^{2x}}{4} -\dfrac{e^{2x}}{8}\bigl(\cos2x+\sin2x\bigr)+C=\\ &=\dfrac{e^{2x}}{8} \bigl(2-\cos2x-\sin2x\bigr)+C\end{aligned}