Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1858

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти следующие интегралы:

Задача 1858

∫dx(x+1)x2+1\displaystyle\int\frac{dx}{(x+1)\sqrt{x^2+1}}.
Ответ:12ln⁡∣x+x2+1+1−2x+x2+1+1+2∣+C,x≠−1\dfrac{1}{\sqrt2}
\ln\left|
\dfrac{x+\sqrt{x^2+1}+1-\sqrt2}
{x+\sqrt{x^2+1}+1+\sqrt2}
\right|+C,
\qquad
x\ne-1На каждом промежутке области определения постоянная CC выбирается независимо.

Решение

Подынтегральная функция определена при x≠−1x\ne-1. Обозначимs=x2+1s=\sqrt{x^2+1}Так как(s+x)(s−x)=1(s+x)(s-x)=1подстановка Эйлера u=x+su=x+s позволяет выразить обе величины xx и ss рационально через uu. Сделаем заменуu=x+su=x+sПоскольку s>∣x∣s>|x|, имеем u>0u>0. Кроме того,du=(1+xs)dx=us dx,dxs=duudu=\left(1+\dfrac{x}{s}\right)dx
=\dfrac{u}{s}\,dx,
\qquad
\dfrac{dx}{s}=\dfrac{du}{u}Из равенства (s+x)(s−x)=1(s+x)(s-x)=1 получаемx=u−u−12,x+1=u2+2u−12ux=\dfrac{u-u^{-1}}{2},
\qquad
x+1=\dfrac{u^2+2u-1}{2u}Следовательно,∫dx(x+1)x2+1=2∫duu2+2u−1==2∫du(u+1)2−2\begin{aligned}
\int\dfrac{dx}{(x+1)\sqrt{x^2+1}}
&=2\int\dfrac{du}{u^2+2u-1}=\\
&=2\int\dfrac{du}{(u+1)^2-2}
\end{aligned}Разложим дробь:2(u+1)2−2=12(1u+1−2−1u+1+2)\dfrac{2}{(u+1)^2-2}
=\dfrac{1}{\sqrt2}\left(
\dfrac{1}{u+1-\sqrt2}
-\dfrac{1}{u+1+\sqrt2}
\right)При x≠−1x\ne-1 знаменатель u2+2u−1u^2+2u-1 не обращается в нуль, поэтому разложение допустимо.

Интегрируя и возвращаясь к переменной xx, получаем∫dx(x+1)x2+1=12ln⁡∣u+1−2u+1+2∣+C==12ln⁡∣x+x2+1+1−2x+x2+1+1+2∣+C\begin{aligned}
\int\dfrac{dx}{(x+1)\sqrt{x^2+1}}
&=\dfrac{1}{\sqrt2}
\ln\left|\dfrac{u+1-\sqrt2}{u+1+\sqrt2}\right|+C=\\
&=\dfrac{1}{\sqrt2}
\ln\left|
\dfrac{x+\sqrt{x^2+1}+1-\sqrt2}
{x+\sqrt{x^2+1}+1+\sqrt2}
\right|+C
\end{aligned}Постоянная CC выбирается независимо на промежутках (−∞;−1)(-\infty;-1) и (−1;+∞)(-1;+\infty).
Демидович № 1858 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика