Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1833

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{\ln(\sin x)}{\sin^2x}\,dx

Ответ:

-\ctg x\ln(\sin x)-\ctg x-x+C, \qquad 2\pi k<x<(2k+1)\pi, \quad k\in\mathbb Z

Решение

В вещественных числах подынтегральная функция определена при

\sin x>0

. Применим интегрирование по частям, положив

u=\ln(\sin x), \qquad dv=\dfrac{dx}{\sin^2 x}, \qquad du=\ctg x\,dx, \qquad v=-\ctg x

Здесь

v=-\ctg x

, поскольку

(\ctg x)'=-\frac{1}{\sin^2x}

. По формуле интегрирования по частям получаем

\begin{aligned} \int\dfrac{\ln(\sin x)}{\sin^2 x}\,dx &=-\ctg x\ln(\sin x)+\int\ctg^2 x\,dx=\\ &=-\ctg x\ln(\sin x) +\int\left(\dfrac{1}{\sin^2 x}-1\right)dx=\\ &=-\ctg x\ln(\sin x)-\ctg x-x+C\end{aligned}