Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1840

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{x+1}{x^2+x+1}\,dx

Ответ:

\dfrac12\ln(x^2+x+1) +\dfrac{1}{\sqrt3}\arctg\left(\dfrac{2x+1}{\sqrt3}\right)+C, \qquad x\in\mathbb R

Решение

Производная знаменателя равна

2x+1

. Чтобы выделить её в числителе, запишем

x+1=\dfrac12(2x+1)+\dfrac12

то

\begin{aligned} \int\dfrac{x+1}{x^2+x+1}\,dx &=\dfrac12\int\dfrac{2x+1}{x^2+x+1}\,dx +\dfrac12\int\dfrac{dx}{x^2+x+1}=\\ &=\dfrac12\ln(x^2+x+1) +\dfrac12\int\dfrac{dx}{\left(x+\dfrac12\right)^2+\dfrac34}\end{aligned}

Положим

t=\dfrac{2x+1}{\sqrt3}, \qquad dx=\dfrac{\sqrt3}{2}\,dt

Тогда

\begin{aligned} \dfrac12\int\dfrac{dx}{x^2+x+1} &=\dfrac{1}{\sqrt3}\int\dfrac{dt}{1+t^2} =\dfrac{1}{\sqrt3}\arctg t=\\ &=\dfrac{1}{\sqrt3}\arctg\left(\dfrac{2x+1}{\sqrt3}\right)\end{aligned}

Следовательно,

\int\dfrac{x+1}{x^2+x+1}\,dx =\dfrac12\ln(x^2+x+1) +\dfrac{1}{\sqrt3}\arctg\left(\dfrac{2x+1}{\sqrt3}\right)+C

Поскольку

x^2+x+1=\left(x+\dfrac12\right)^2+\dfrac34>0

, подынтегральная функция определена при всех

x\in\mathbb R