Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1831

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти следующие интегралы:

\displaystyle\int(e^x-\cos x)^2\,dx

Ответ:

\dfrac12e^{2x}-e^x(\sin x+\cos x) +\dfrac{x}{2}+\dfrac14\sin 2x+C, \qquad x\in\mathbb R

Решение

Раскроем квадрат и воспользуемся формулой понижения степени:

(e^x-\cos x)^2=e^{2x}-2e^x\cos x+\cos^2 x, \qquad \cos^2 x=\dfrac{1+\cos 2x}{2}

Для вычисления интеграла

J=\int e^x\cos x\,dx

дважды применим интегрирование по частям. Сначала положим

u=\cos x

dv=e^x\,dx

. Тогда

du=-\sin x\,dx

v=e^x

J=e^x\cos x+\int e^x\sin x\,dx

Для интеграла

K=\int e^x\sin x\,dx

положим

u=\sin x

dv=e^x\,dx

. Тогда

du=\cos x\,dx

v=e^x

K=e^x\sin x-J

Следовательно,

2J=e^x(\sin x+\cos x), \qquad J=\dfrac12e^x(\sin x+\cos x)

При этом

\int e^{2x}\,dx=\frac12e^{2x}

, а из формулы понижения степени следует

\int\cos^2x\,dx=\dfrac{x}{2}+\dfrac{\sin2x}{4}

Теперь интегрируем исходное выражение:

\begin{aligned} \int(e^x-\cos x)^2\,dx &=\dfrac12e^{2x}-2J+\dfrac{x}{2} +\dfrac14\sin 2x=\\ &=\dfrac12e^{2x}-e^x(\sin x+\cos x) +\dfrac{x}{2}+\dfrac14\sin 2x+C\end{aligned}