Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1860

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{dx}{(x+2)^2\sqrt{x^2+2x-5}}

Ответ:

\dfrac{\sqrt{x^2+2x-5}}{5(x+2)} -\dfrac{2}{5\sqrt5} \arctg\dfrac{x+2+\sqrt{x^2+2x-5}}{\sqrt5}+C, \qquad |x+1|>\sqrt6

На каждом промежутке области определения постоянная

C

выбирается независимо.

Решение

Сдвинем переменную, выделим производную выражения с корнем и рационализируем оставшийся интеграл.
Положим

y=x+1, \qquad s=\sqrt{y^2-6}=\sqrt{x^2+2x-5}

Подкоренное выражение в знаменателе должно быть положительным, поэтому

y^2-6>0

Следовательно, область определения состоит из промежутков

(-\infty;-1-\sqrt6), \qquad (-1+\sqrt6;+\infty)

Чтобы уменьшить степень знаменателя

y+1

, рассмотрим производную

s/(y+1)

. Её числитель

y+6

удобен тем, что единицу можно представить как линейную комбинацию

y+6

y+1

. Действительно,

\begin{aligned} \dfrac{d}{dy}\left(\dfrac{s}{y+1}\right) &=\dfrac{\dfrac{y}{s}(y+1)-s}{(y+1)^2}=\\ &=\dfrac{y+6}{s(y+1)^2}\end{aligned}

Из тождества

1=\dfrac{1}{5}(y+6)-\dfrac{1}{5}(y+1)

получаем

\begin{aligned} \int\dfrac{dy}{(y+1)^2s} &=\dfrac{s}{5(y+1)} -\dfrac{1}{5}\int\dfrac{dy}{(y+1)s}\end{aligned}

В оставшемся интеграле сделаем замену

u=y+s

Поскольку

(y+s)(y-s)=6

, имеем

u\ne0

. Кроме того,

\dfrac{dy}{s}=\dfrac{du}{u}, \qquad y=\dfrac{u+6u^{-1}}{2}, \qquad y+1=\dfrac{(u+1)^2+5}{2u}

Поэтому

\begin{aligned} \int\dfrac{dy}{(y+1)s} &=2\int\dfrac{du}{(u+1)^2+5}=\\ &=\dfrac{2}{\sqrt5} \arctg\dfrac{u+1}{\sqrt5}+C\end{aligned}

Возвращаясь к переменной

x

, получаем

\int\dfrac{dx}{(x+2)^2\sqrt{x^2+2x-5}} =\dfrac{\sqrt{x^2+2x-5}}{5(x+2)} -\dfrac{2}{5\sqrt5} \arctg\dfrac{x+2+\sqrt{x^2+2x-5}}{\sqrt5}+C

На двух промежутках области определения постоянная

C

выбирается независимо.