Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1834

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{x\,dx}{\cos^2x}

Ответ:

x\tg x+\ln|\cos x|+C, \qquad x\ne\dfrac{\pi}{2}+\pi k, \quad k\in\mathbb Z

Решение

Подынтегральная функция определена при

\cos x\ne0

. Применим интегрирование по частям. Положим

u=x, \qquad dv=\dfrac{dx}{\cos^2 x}, \qquad du=dx, \qquad v=\tg x

Поскольку

\tg x=-\frac{(\cos x)'}{\cos x}

, имеем

\int\tg x\,dx=-\ln|\cos x|

По формуле интегрирования по частям получаем

\begin{aligned} \int\dfrac{x}{\cos^2 x}\,dx &=x\tg x-\int\tg x\,dx =x\tg x+\ln|\cos x|+C\end{aligned}