Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1828

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти следующие интегралы:

\displaystyle\int e^{ax}\cos bx\,dx

Ответ:

\begin{cases} \dfrac{e^{ax}}{a^2+b^2} \bigl(a\cos bx+b\sin bx\bigr)+C, & (a,b)\ne(0,0)\\[6pt] x+C, & a=b=0\end{cases}

Решение

Считаем

a

b

действительными постоянными. Обозначим

I=\int e^{ax}\cos bx\,dx, \qquad J=\int e^{ax}\sin bx\,dx

Пусть

b\ne0

. Сначала вычислим первообразные без произвольной постоянной; её добавим в конце. Для

I

интегрируем по частям:

u=e^{ax}, \quad dv=\cos bx\,dx, \quad du=ae^{ax}\,dx, \quad v=\dfrac{\sin bx}{b}

Тогда

I=\dfrac{e^{ax}\sin bx}{b}-\dfrac{a}{b}J

В интеграле

J

берём

u=e^{ax}

dv=\sin bx\,dx

, поэтому

v=-\dfrac{\cos bx}{b}

. Отсюда

J=-\dfrac{e^{ax}\cos bx}{b}+\dfrac{a}{b}I

Подставляя выражение для

J

в первое равенство, имеем

\begin{aligned} I &=\dfrac{e^{ax}\sin bx}{b} +\dfrac{ae^{ax}\cos bx}{b^2} -\dfrac{a^2}{b^2}I\end{aligned}

Переносим слагаемое с

I

влево и приводим коэффициенты к общему знаменателю:

\dfrac{a^2+b^2}{b^2}I =\dfrac{e^{ax}}{b^2}\bigl(b\sin bx+a\cos bx\bigr)

Умножаем обе части на

\dfrac{b^2}{a^2+b^2}

I=\dfrac{e^{ax}}{a^2+b^2} \bigl(a\cos bx+b\sin bx\bigr)+C

При

b=0

a\ne0

непосредственно получаем

I=\dfrac{e^{ax}}{a}+C

, что совпадает с общей формулой. Если

a=b=0

, подынтегральная функция равна единице.