Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1863

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти следующие интегралы:

Задача 1863

∫x4+2x2−1 x dx\displaystyle\int\sqrt{x^4+2x^2-1}\,x\,dx.
Ответ:x2+14x4+2x2−1−12ln⁡(x2+1+x4+2x2−1)+C,∣x∣>2−1\begin{aligned}
&\dfrac{x^2+1}{4}\sqrt{x^4+2x^2-1}-\dfrac{1}{2}\ln\left(
x^2+1+\sqrt{x^4+2x^2-1}
\right)+C,
\qquad
|x|>\sqrt{\sqrt2-1}
\end{aligned}Полная область определения задаётся условием ∣x∣⩾2−1|x|\geqslant\sqrt{\sqrt2-1}. Постоянные на двух промежутках выбираются независимо, а формула непрерывно продолжается к их конечным граничным точкам.

Решение

Для существования корня необходимо x4+2x2−1⩾0x^4+2x^2-1\geqslant0. Область определения уточним после вычисления первообразной. Посколькуx4+2x2−1=(x2+1)2−2x^4+2x^2-1=(x^2+1)^2-2положим u=x2+1u=x^2+1, откуда du=2x dxdu=2x\,dx. Используем формулу∫u2−c2 du=12(uu2−c2−c2ln⁡∣u+u2−c2∣)+C\int\sqrt{u^2-c^2}\,du
=\dfrac{1}{2}\left(
u\sqrt{u^2-c^2}
-c^2\ln\left|u+\sqrt{u^2-c^2}\right|
\right)+CЗдесь c=2c=\sqrt2, поэтому∫xx4+2x2−1 dx=12∫u2−2 du==12[12uu2−2−ln⁡∣u+u2−2∣]+C==14uu2−2−12ln⁡∣u+u2−2∣+C\begin{aligned}
\int x\sqrt{x^4+2x^2-1}\,dx
&=\dfrac{1}{2}\int\sqrt{u^2-2}\,du=\\
&=\dfrac{1}{2}\left[
\dfrac{1}{2}u\sqrt{u^2-2}
-\ln\left|u+\sqrt{u^2-2}\right|
\right]+C=\\
&=\dfrac{1}{4}u\sqrt{u^2-2}
-\dfrac{1}{2}\ln\left|u+\sqrt{u^2-2}\right|+C
\end{aligned}На области определения u=x2+1⩾2>0u=x^2+1\geqslant\sqrt2>0, поэтому u+u2−2>0u+\sqrt{u^2-2}>0 и модуль в логарифме можно убрать.

Возвращаясь к переменной xx, получаем∫xx4+2x2−1 dx=x2+14x4+2x2−1−12ln⁡(x2+1+x4+2x2−1)+C\begin{aligned}
\int x\sqrt{x^4+2x^2-1}\,dx
&=\dfrac{x^2+1}{4}\sqrt{x^4+2x^2-1}-\dfrac{1}{2}\ln\left(
x^2+1+\sqrt{x^4+2x^2-1}
\right)+C
\end{aligned}Найдём область определения. Необходимоx4+2x2−1⩾0x^4+2x^2-1\geqslant0Положим y=x2⩾0y=x^2\geqslant0. Тогдаy2+2y−1⩾0,y1,2=−1±2y^2+2y-1\geqslant0,
\qquad
y_{1,2}=-1\pm\sqrt2С учётом y⩾0y\geqslant0 получаемy⩾2−1⟺x2⩾2−1⟺∣x∣⩾2−1y\geqslant\sqrt2-1
\quad\Longleftrightarrow\quad
x^2\geqslant\sqrt2-1
\quad\Longleftrightarrow\quad
|x|\geqslant\sqrt{\sqrt2-1}Первообразная вычислена на внутренних промежутках; её формула непрерывно продолжается к допустимым граничным точкам.
Демидович № 1863 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика