Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1861

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\sqrt{2+x-x^2}\,dx

Ответ:

\dfrac{2x-1}{4}\sqrt{2+x-x^2} +\dfrac{9}{8}\arcsin\dfrac{2x-1}{3}+C, \qquad -1<x<2

Подынтегральная функция определена на

[-1;2]

; полученная формула непрерывно продолжается в точки

x=-1

x=2

Решение

Выделим полный квадрат и положим

2+x-x^2=\dfrac{9}{4}-\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2, \qquad u=x-\dfrac{1}{2}, \qquad du=dx \qquad r=\dfrac{3}{2}

Тогда

r^2-u^2 =\dfrac{9}{4}-\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2 =2+x-x^2

Используем стандартную формулу

\int\sqrt{r^2-u^2}\,du =\dfrac{u}{2}\sqrt{r^2-u^2} +\dfrac{r^2}{2}\arcsin\dfrac{u}{r}+C

При возвращении к переменной

x

имеем

\dfrac{u}{2}=\dfrac{2x-1}{4}, \qquad \dfrac{u}{r} =\dfrac{x-\dfrac{1}{2}}{\dfrac{3}{2}} =\dfrac{2x-1}{3}, \qquad \dfrac{r^2}{2}=\dfrac{9}{8}

Поэтому

\int\sqrt{2+x-x^2}\,dx =\dfrac{2x-1}{4}\sqrt{2+x-x^2} +\dfrac{9}{8}\arcsin\dfrac{2x-1}{3}+C

Полная область определения подынтегральной функции есть

[-1;2]

. Формула является первообразной на

(-1;2)

и непрерывно продолжается к обоим концам.