Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1841

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{x\,dx}{x^2-2x\cos\alpha+1}

Ответ:При

\sin\alpha\ne0

\dfrac{1}{2}\ln\left(x^2-2x\cos\alpha+1\right) +\ctg\alpha\, \arctg\dfrac{x-\cos\alpha}{\sin\alpha}+C

При

\sin\alpha=0

x\ne\cos\alpha

\ln|x-\cos\alpha| -\dfrac{\cos\alpha}{x-\cos\alpha}+C

Во втором случае постоянная

C

выбирается независимо по разные стороны от точки

x=\cos\alpha

Решение

Обозначим

c=\cos\alpha, \qquad s=\sin\alpha

Тогда знаменатель можно представить в виде

x^2-2x\cos\alpha+1=(x-c)^2+s^2

Кроме того,

x=(x-c)+c

, поэтому

\begin{aligned} \int\dfrac{x\,dx}{x^2-2x\cos\alpha+1} &=\int\dfrac{x-c}{(x-c)^2+s^2}\,dx +c\int\dfrac{dx}{(x-c)^2+s^2}=\\ &=\dfrac{1}{2}\ln\left|(x-c)^2+s^2\right| +c\int\dfrac{dx}{(x-c)^2+s^2}\end{aligned}

Если

s\ne0

, то знаменатель положителен при всех

x\in\mathbb R

, причём

\left( \dfrac{1}{s}\arctg\dfrac{x-c}{s} \right)' =\dfrac{1}{(x-c)^2+s^2}

Следовательно,

\int\dfrac{x\,dx}{x^2-2x\cos\alpha+1} =\dfrac{1}{2}\ln\left(x^2-2x\cos\alpha+1\right) +\ctg\alpha\, \arctg\dfrac{x-\cos\alpha}{\sin\alpha}+C

Если

s=0

, то

c=\pm1

, а знаменатель равен

(x-c)^2

. При

x\ne c

получаем

\begin{aligned} \int\dfrac{x\,dx}{(x-c)^2} &=\int\left(\dfrac{1}{x-c} +\dfrac{c}{(x-c)^2}\right)dx=\\ &=\ln|x-c|-\dfrac{c}{x-c}+C\end{aligned}

На промежутках

(-\infty,c)

(c,+\infty)

постоянная интегрирования выбирается независимо.