Раздел I. Введение в анализ — § 1. Вещественные числа
Демидович — задача 14
Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.
Задача 14
Построить сечение, определяющее число22.
Построение
Сначала проверим нужное свойство рациональных степеней. Пусть q и q′ — положительные рациональные числа, причём q<q′. После приведения к общему положительному знаменателю можно написатьq=Nm,q′=Nm′,m<m′.Тогда2q2q′=2q′−q=N2m′−m>1,поскольку m′−m — положительное целое число. Следовательно, функция q↦2q строго возрастает на положительных рациональных показателях.
Оба класса непусты. Число 0 принадлежит A. Если q>0 и q2<2, то q<2<2; по доказанной монотонности рациональных степеней 2q<22=4. Следовательно, 4 не удовлетворяет определению класса A, то есть 4∈B.
Замкнутость вниз. Если r∈A и s<r, то при r≤0 имеем s≤0, а при r<2q автоматически s<2q. Значит, s∈A.
В A нет наибольшего элемента. Если r<0, подходит 2r. Если r=0, подходит, например, 1, поскольку 1<21 и 12<2.
Пусть r>0 и r<2q для некоторого рационального q с q2<2. По плотности рациональных чисел выберемq<q′<2.Степенная функция с основанием 2>1 строго возрастает на положительных рациональных показателях, поэтомуr<2q<2q′.Снова по плотности рациональных чисел найдётся r′∈Q, для которогоr<r′<2q′.Тогда r′∈A.