Раздел I. Введение в анализ — § 1. Вещественные числа

Демидович — задача 14

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 14

Построить сечение, определяющее число22.2^{\sqrt2}.

Построение

Идея

Иррациональный показатель 2\sqrt2 нельзя сразу подставить в определение рациональной степени. Зато для рационального q=mn>0q=\frac mn>0 число 2q2^q уже определено как положительный корень 2mn\sqrt[n]{2^m}. Будем приближать показатель 2\sqrt2 снизу рациональными числами qq и соберём в нижний класс все рациональные rr, лежащие ниже хотя бы одного значения 2q2^q. После этого останется проверить, что полученная пара классов действительно является сечением.
  1. 1
    Сначала проверим нужное свойство рациональных степеней. Пусть qq и q′q' — положительные рациональные числа, причём q<q′q<q'. После приведения к общему положительному знаменателю можно написатьq=mN,q′=m′N,m<m′.q=\frac{m}{N},\qquad q'=\frac{m'}{N},\qquad m<m'.Тогда2q′2q=2q′−q=2m′−mN>1,\frac{2^{q'}}{2^q}=2^{q'-q}=\sqrt[N]{2^{m'-m}}>1,поскольку m′−mm'-m — положительное целое число. Следовательно, функция q↦2qq\mapsto2^q строго возрастает на положительных рациональных показателях.
  2. 2
    Теперь определимA={r∈Q: r≤0 или ∃q∈Q (0<q, q2<2, r<2q)},A=\left\{r\in\mathbb Q:\ r\le0\ \text{или}\
    \exists q\in\mathbb Q\ \bigl(0<q,\ q^2<2,\ r<2^q\bigr)\right\},    B=Q∖A.B=\mathbb Q\setminus A.Проверим свойства сечения.

    Оба класса непусты. Число 00 принадлежит AA. Если q>0q>0 и q2<2q^2<2, то q<2<2q<\sqrt2<2; по доказанной монотонности рациональных степеней 2q<22=42^q<2^2=4. Следовательно, 44 не удовлетворяет определению класса AA, то есть 4∈B4\in B.

    Замкнутость вниз. Если r∈Ar\in A и s<rs<r, то при r≤0r\le0 имеем s≤0s\le0, а при r<2qr<2^q автоматически s<2qs<2^q. Значит, s∈As\in A.

    В AA нет наибольшего элемента. Если r<0r<0, подходит r2\frac r2. Если r=0r=0, подходит, например, 11, поскольку 1<211<2^1 и 12<21^2<2.

    Пусть r>0r>0 и r<2qr<2^q для некоторого рационального qq с q2<2q^2<2. По плотности рациональных чисел выберемq<q′<2.q<q'<\sqrt2.Степенная функция с основанием 2>12>1 строго возрастает на положительных рациональных показателях, поэтомуr<2q<2q′.r<2^q<2^{q'}.Снова по плотности рациональных чисел найдётся r′∈Qr'\in\mathbb Q, для которогоr<r′<2q′.r<r'<2^{q'}.Тогда r′∈Ar'\in A.
  3. 3
    Следовательно, A/BA/B является сечением. По определению продолжения показательной функции на иррациональный показатель это сечение задаёт22=sup⁡{2q: q∈Q, 0<q<2}.2^{\sqrt2}=\sup\{2^q:\ q\in\mathbb Q,\ 0<q<\sqrt2\}.В определении нижнего класса рациональные числа rr сравниваются со значениями 2q2^q, которые сами не обязаны быть рациональными. Определение сечения при этом не нарушается: его элементами остаются именно рациональные rr, а значения 2q2^q лишь задают для них границу сравнения.

Проверка

A={r∈Q: r≤0 или ∃q∈Q, 0<q, q2<2, r<2q},B=Q∖A.A=\{r\in\mathbb Q:\ r\le0\ \text{или}\ \exists q\in\mathbb Q,
\ 0<q,\ q^2<2,\ r<2^q\},
\qquad B=\mathbb Q\setminus A.