Раздел I. Введение в анализ — § 1. Вещественные числа

Демидович — задача 13

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 13

Построив соответствующие сечения, доказать равенства:а) 2+8=18;б) 2 3=6.\text{а) }\sqrt2+\sqrt8=\sqrt{18};
\qquad
\text{б) }\sqrt2\,\sqrt3=\sqrt6.

Доказательство

Для равенства чисел, заданных сечениями, проверим совпадение нижних рациональных классов; одних преобразований радикалов здесь недостаточно.

Лемма о рациональном множителе. Пусть λ>0\lambda>0 — рациональное число. Для положительного рационального rrr<λc⟺rλ<c⟺(rλ)2<c⟺r2<λ2c.\begin{aligned}
r<\lambda\sqrt c
&\Longleftrightarrow \frac r\lambda<\sqrt c\\
&\Longleftrightarrow \left(\frac r\lambda\right)^2<c\\
&\Longleftrightarrow r^2<\lambda^2c.
\end{aligned}Для r≤0r\le0 оба нижних класса содержат rr. Следовательно,λc=λ2c.\lambda\sqrt c=\sqrt{\lambda^2c}.Пункт а). Из леммы при λ=2\lambda=2, c=2c=2 получаем8=22,\sqrt8=2\sqrt2,а при λ=3\lambda=3, c=2c=218=32.\sqrt{18}=3\sqrt2.Поэтому2+8=2+22=32=18.\sqrt2+\sqrt8=\sqrt2+2\sqrt2=3\sqrt2=\sqrt{18}.Здесь каждое равенство соответствует совпадению построенных нижних классов.

Пункт б). Для произведения двух положительных сечений нижний класс числа 2 3\sqrt2\,\sqrt3 равенC={r∈Q: r≤0 или ∃a,b∈Q>0 (a2<2, b2<3, r<ab)}.C=\{r\in\mathbb Q:\ r\le0\ \text{или}\ \exists a,b\in\mathbb Q_{>0}
\ (a^2<2,\ b^2<3,\ r<ab)\}.Покажем, что C=A6C=A_6.
Если r∈Cr\in C и r>0r>0, то для некоторых положительных рациональных a,ba,br<ab,a2<2,b2<3.r<ab,\qquad a^2<2,\qquad b^2<3.Поэтомуr2<a2b2<6,r^2<a^2b^2<6,то есть r∈A6r\in A_6. Получено включение C⊆A6C\subseteq A_6.

Обратно, пусть r∈A6r\in A_6 и r>0r>0. Тогда r2<6r^2<6, а значит,(r3)2=r23<2,r3<2.\left(\frac r{\sqrt3}\right)^2=\frac{r^2}{3}<2,
\qquad
\frac r{\sqrt3}<\sqrt2.По плотности рациональных чисел выберем рациональное aa так, чтоr3<a<2.\frac r{\sqrt3}<a<\sqrt2.Тогда a2<2a^2<2 и ra<3\frac ra<\sqrt3. Снова по плотности Q\mathbb Q выберем рациональное bb:ra<b<3.\frac ra<b<\sqrt3.Отсюда b2<3b^2<3 и r<abr<ab, следовательно, r∈Cr\in C. Значит, A6⊆CA_6\subseteq C.
Итак, C=A6C=A_6, поэтому2 3=6.\sqrt2\,\sqrt3=\sqrt6.В обратном включении рациональные приближения aa и bb выбираются последовательно: сначала оставляем запас до 2\sqrt2, а затем — до 3\sqrt3. Поэтому нам нигде не приходится писать недопустимое для рациональных классов ``возьмём a=2a=\sqrt2, b=3b=\sqrt3''.2+8=18,2 3=6.\sqrt2+\sqrt8=\sqrt{18},
\qquad
\sqrt2\,\sqrt3=\sqrt6.

Что и требовалось доказать