Раздел I. Введение в анализ — § 1. Вещественные числа

Демидович — задача 6

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Доказать неравенство Бернулли:

(1+x_1)(1+x_2)\cdots(1+x_n)\ge 1+x_1+x_2+\cdots+x_n,

где

x_1,x_2,\ldots,x_n

— числа одного и того же знака, большие

-1

Доказательство

Идея

Условие об одинаковом знаке всех

x_k

позволяет не смешивать положительные и отрицательные слагаемые. Если

x_k\ge0

, при раскрытии произведения все дополнительные произведения будут неотрицательными. Если же

-1<x_k\le0

, удобно записать

x_k=-a_k

: тогда каждый множитель

1-a_k

остаётся положительным, и неравенство можно доказать по индукции, не раскрывая всё произведение. Разберём эти два случая отдельно.

1
Случай $x_k\ge0$
При раскрытии произведения $(1+x_1)\cdots(1+x_n)$ первые члены равны $1+x_1+\cdots+x_n$ , а все произведения двух и более переменных неотрицательны. Поэтому требуемая оценка выполнена.
2
Случай $-$1<x_k$\le0$
Запишем $x_k=-a_k$ , где $0\le a_k<1$ . Нужно доказать $(1-a_1)\cdots(1-a_n)\ge1-(a_1+\cdots+a_n).$ Для $n=1$ имеем равенство. Предположим, что утверждение верно для $n$ множителей, и обозначим $S_n=a_1+\cdots+a_n.$ Поскольку $1-a_{n+1}>0$ , индукционное неравенство можно умножить на этот множитель без изменения знака: $\begin{aligned}(1-a_1)\cdots(1-a_n)(1-a_{n+1})&\ge(1-S_n)(1-a_{n+1})\\&=1-S_n-a_{n+1}+S_na_{n+1}\\&\ge1-S_n-a_{n+1}.\end{aligned}$ Последний переход корректен, поскольку $S_na_{n+1}\ge0$ .

Обратим внимание на один тонкий момент: нам не требуется неравенство $1-S_n\ge0$ . Для умножения индукционного неравенства достаточно того, что множитель $1-a_{n+1}$ положителен; именно это сохраняет направление знака.

Проверка

(1+x_1)\cdots(1+x_n)\ge1+x_1+\cdots+x_n.

Что и требовалось доказать