Раздел I. Введение в анализ — § 1. Вещественные числа

Демидович — задача 6

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 6

Доказать неравенство Бернулли:(1+x1)(1+x2)⋯(1+xn)≥1+x1+x2+⋯+xn,(1+x_1)(1+x_2)\cdots(1+x_n)\ge 1+x_1+x_2+\cdots+x_n,где x1,x2,…,xnx_1,x_2,\ldots,x_n — числа одного и того же знака, большие −1-1.

Доказательство

Неотрицательные xkx_k

При раскрытии ∏k=1n(1+xk)\prod_{k=1}^n(1+x_k) получаются 11, отдельные слагаемые x1,…,xnx_1,\ldots,x_n и произведения двух и более xkx_k. Последние неотрицательны, поэтому произведение не меньше 1+∑k=1nxk1+\sum_{k=1}^n x_k.

Отрицательные xkx_k

Положим ak=−xka_k=-x_k. Тогда 0<ak<10<a_k<1, и требуется доказать∏k=1n(1−ak)≥1−∑k=1nak.\prod_{k=1}^n(1-a_k)\ge1-\sum_{k=1}^n a_k.Для одного множителя здесь равенство. Допустим, что оценка верна для nn множителей, и обозначим Sn=a1+⋯+anS_n=a_1+\cdots+a_n. Поскольку 1−an+1>01-a_{n+1}>0, индукционное неравенство можно умножить на это число:∏k=1n+1(1−ak)≥(1−Sn)(1−an+1)=1−(Sn+an+1)+Snan+1≥1−(Sn+an+1).\begin{aligned}
\prod_{k=1}^{n+1}(1-a_k)
&\ge (1-S_n)(1-a_{n+1})\\
&=1-(S_n+a_{n+1})+S_na_{n+1}\\
&\ge1-(S_n+a_{n+1}).
\end{aligned}Так как Sn,an+1≥0S_n,a_{n+1}\ge0, последний отброшенный член неотрицателен. Индукция даёт требуемое неравенство; вместе с первым случаем это покрывает все числа одного знака.

Что и требовалось доказать