Раздел I. Введение в анализ — § 1. Вещественные числа

Демидович — задача 9

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 9

Доказать неравенство:а) 2! 4!⋯(2n)!>[(n+1)!]n(n>1);\text{а) }2!\,4!\cdots(2n)!>[(n+1)!]^n\quad(n>1);б) 12⋅34⋯2n−12n<12n+1.\text{б) }\frac12\cdot\frac34\cdots\frac{2n-1}{2n}<\frac1{\sqrt{2n+1}}.

Доказательство

а) Произведение факториалов

Начнём с n=2n=2:2! 4!=48>36=(3!)2.2!\,4!=48>36=(3!)^2.Предположим, что для некоторого n≥2n\ge2 выполнено2! 4!⋯(2n)!>[(n+1)!]n.2!\,4!\cdots(2n)!>[(n+1)!]^n.Чтобы перейти к n+1n+1, умножим на положительное число (2n+2)!(2n+2)!:2! 4!⋯(2n+2)!>[(n+1)!]n(2n+2)!.2!\,4!\cdots(2n+2)!>[(n+1)!]^n(2n+2)!.Осталось получить справа [(n+2)!]n+1[(n+2)!]^{n+1}. После сокращения [(n+1)!]n+1[(n+1)!]^{n+1} это сводится к оценке(2n+2)!(n+1)!=(n+2)(n+3)⋯(2n+2)>(n+2)n+1.\frac{(2n+2)!}{(n+1)!}
=(n+2)(n+3)\cdots(2n+2)>(n+2)^{n+1}.В произведении ровно n+1n+1 множителей; первый равен n+2n+2, остальные больше. Поэтому последнее неравенство строгое, переход доказан.

б) Произведение дробей

Обозначим Pn=∏k=1n2k−12kP_n=\prod_{k=1}^{n}\frac{2k-1}{2k}. Так как Pn>0P_n>0, возведение требуемого неравенства в квадрат сохраняет равносильность. Докажем по индукции, чтоPn2<12n+1.P_n^2<\frac1{2n+1}.При n=1n=1 это 14<13\frac14<\frac13. Если оценка верна для nn, тоPn+12=Pn2(2n+12n+2)2<2n+1(2n+2)2<12n+3.\begin{aligned}
P_{n+1}^2
&=P_n^2\left(\frac{2n+1}{2n+2}\right)^2\\
&<\frac{2n+1}{(2n+2)^2}
<\frac1{2n+3}.
\end{aligned}Последний знак следует из (2n+2)2−(2n+1)(2n+3)=1>0(2n+2)^2-(2n+1)(2n+3)=1>0. Значит, Pn<12n+1P_n<\frac1{\sqrt{2n+1}} для всякого натурального nn.

Что и требовалось доказать