Демидович — задача 9

1. 1
   Эти два наблюдения задают план решения каждого пункта.
2. 2

   Пункт а)

   Докажем$$2!\,4!\cdots(2n)!>[(n+1)!]^n\qquad(n>1).$$При $n=2$:$$2!\,4!=2\cdot24=48>36=(3!)^2.$$Пусть утверждение верно для $n$:$$2!\,4!\cdots(2n)!>[(n+1)!]^n.$$Тогда$$2!\,4!\cdots(2n)!(2n+2)!$$
   >[(n+1)!]^n(2n+2)!.Нужно сравнить правую часть с $[(n+2)!]^{n+1}$. Для этого достаточно проверить$$[(n+1)!]^n(2n+2)!>[(n+2)!]^{n+1}.$$Разделим на положительное $[(n+1)!]^n$:$$(2n+2)!>(n+2)^{n+1}(n+1)!.$$Но$$\frac{(2n+2)!}{(n+1)!}=(n+2)(n+3)\cdots(2n+2).$$Здесь $n+1$ множителей, каждый не меньше $n+2$, причём не все равны $n+2$. Следовательно,$$(n+2)(n+3)\cdots(2n+2)>(n+2)^{n+1}.$$Индукционный шаг доказан.
3. 3

   Пункт б)

   Пусть$$P_n=\frac12\cdot\frac34\cdots\frac{2n-1}{2n}.$$Нужно доказать$$P_n<\frac1{\sqrt{2n+1}}.$$Эквивалентно доказать$$P_n^2<\frac1{2n+1}.$$При $n=1$:$$P_1^2=\frac14<\frac13.$$Пусть$$P_n^2<\frac1{2n+1}.$$Тогда$$P_{n+1}^2=P_n^2\left(\frac{2n+1}{2n+2}\right)^2$$
   <\frac1{2n+1}\left(\frac{2n+1}{2n+2}\right)^2
   =\frac{2n+1}{(2n+2)^2}.Осталось сравнить с $\frac1{2n+3}$:$$\frac{2n+1}{(2n+2)^2}<\frac1{2n+3}$$равносильно$$(2n+1)(2n+3)<(2n+2)^2.$$Левая часть равна $4n^2+8n+3$, правая — $4n^2+8n+4$, поэтому неравенство верно.
   
   В пункте а) индукционный переход сводится к сравнению $n+1$ множителей, каждый из которых не меньше $n+2$. В пункте б) обе стороны исходного неравенства положительны, поэтому возведение в квадрат равносильно.

Что и требовалось доказать